Math Battle [ 0034: n次元球の表面積と体積 ]

[ 0034: n次元球の表面積と体積 ]

[ 湯会老人の出題 ]

積分計算の練習です。自然数 n が 2 から 30ぐらいまでの範囲に対して、半径 1 の n 次元球の表面積と体積を求め、 Excelでグラフ (表面積系列 (S) と体積系列 (V) は、自分の好みで別の色) を描いてください。

S も V もあるところまで増大し、あとは減少に転じます。
それぞれに対するピークの際の n の値を特定してください。

[ 浅見多絵さんの回答 ]

やってみます。わからないなりに。

n が 2 増えるごとに π が 1 個増えるわけですね。
既約分数の形を維持するとかなり面倒ですから、単一の浮動小数点数でどんどん進めました。

私は Perl の手ほどきを夫から受けていますから、簡単な Perl スクリプトを書き、 TAB 区切りの CSV ファイルを出力しました。

これを LibreOffice Calc (Excel と互換) に一発で読み込ませ、グラフにしました。以下のとおりです。

とりあえず、 2 次元から 10 次元までにしました。

　* 表面積 (S: Surface) は n = 7 で極大となり、
　* 体積 (V: Volume) は n = 5 で極大になりました。

なお、途中で気がつきましたが n 次元の S/V 比は n になりますから、表面積か体積かのどちらかを計算すれば、この比によって他方は求まります。

[ 湯会老人のコメント ]

10 次元まででいいです。極大ポイントが含まれればいいですから。

それにしても、あっというまに積分計算ができるようになりましたね。 Perl プログラムで計算をおこなわせて、結果を 1 次元あたり 1 行の CSV ファイルに出力するというのは賢い。よくやる手ですが。

多絵さん、お見事 !!!

ところで、Perl は iPhone でも実行できますよ。

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