Math Battle [ 0040: 穴あき球の体積 ]

[ 0040: 穴あき球の体積 ]


[ 南門疾矢君の出題 ]

図に示すように球に円柱状の穴が貫通したリングがあります。 穴の上辺と底辺の距離が 2 である以外は、 穴の半径も球の半径も知られていません。 この状況でリングの体積はいくらになりますか?


[ 千手春弥さんの回答 ]

考えやすいように、90 度回転して横方向に積分することにします。

円柱状の穴の半径を c、
それぞれの x 方向の位置で決まる穴あき球断面の半径を y とします。

リングの体積は π*(y^2-c^2) を x = [-h, h] にわたって積分したもの。

対称性により、
これは π*(y^2-c^2) を x = [0, h] にわたって積分したものの2倍。

ピタゴラスの定理により y^2-c^2 = h^2-x^2 になりますから

2*π*(h^3-(1/3)*h^3) = 2*π*((2/3)*h^3) (h は 1)

結局 (4/3)*π になります。

球の半径や穴の半径は消えてしまいます。 これらには依存しません。


[ 南門疾矢君のコメント ]

千手さん、y^2-c^2 = h^2-x^2 というのが、 いっけんわかりにくかったのですが、

球の半径を r として:
r^2 = x^2+y^2 = h^2+c^2

から導かれるわけですよね。


[ 湯会老人のコメント ]

うむ。解きかたをあまりクダクダ書かれると退屈になることがある。
爽快なスピード感が大切ですね。疾矢君みたいに。

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