Math Battle [ 0044: Langleyの問題 ]

[ 0044: Langleyの問題 ]

[ 湯会老人の出題 ]

この幾何学問題はイギリス人数学者 Edward Mann Langley (1851 - 1933) が 1922 年に出題したもの。？？の部分の角度を求めてください。

[ 南門疾矢君の回答 ]

うわー、見当がつかない。一晩考えました。

けっきょく、外側の三角形が二等辺三角形であることが暗示しているように、
等辺⇔等角の性質を利用すればいいかもしれない。

辺 EC 上に正三角形 BFG を作りますと、
赤で示す辺の長さがすべて同じになります。

したがって: ？？ = (180-40°）/ 2 - 40° = 30° ですね。

[ 浅見多絵さんのコメント ]

こんなの「朝メシ前」だったんじゃないの？ (笑)
もうちょっとわかりやすく説明してください。

[ 南門疾矢君のコメント ]

はい、多絵さん。
核心になる三角形 GEF が二等辺三角形になることを示します。

問題で既に与えられている角度から、∠GBE = 40°
また ∠GEB = (180°- 60° - 80°) = 40°

これによって GBE が二等辺三角形であることが示されましたから
GBF が正三角形であること使って
GE = GF

GEF は二等辺三角形であることがわかります。
したがって、求める角度は 30° になります。

これでいいですか？

[ 千手春弥さんのコメント ]

疾矢君、よく解けましたね。

これは昔から「簡単な難問」 (hardest easy problem) と呼ばれている幾何学問題です。正三角形を作る 2 本の補助線を追加して角度計算を助けるというのが知恵ですね。

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