Math Battle [ 0045: 星形の面積 ]

[ 0045: 星形の面積 ]

[ 千手春弥さんの出題 ]

一辺 (5 本ある長いストロークそれぞれ) の長さが 1 の星形の面積を求めてください。

<< 警告 >> この記事には計算の間違いが含まれています。正解

[ 浅見多絵さんのコメント ]

三角形 OBF の面積は星形の面積の 1/10 になります。

ここで、 OB の長さは:
= 1/2 * 1/cos(18°)

これを使って、 OBF の面積は:
= 1/2 * tan(18°) * OB^2
= 1/8 * tan(18°)/cos(18°)^2

10 個集めると：
5/4 * tan(18°)/cos(18°)^2
ですね。

ああ、 Adobe の Illusrator があれば、図がもっと綺麗に描けるのに。
Linux 版がありません。 (涙)

[ 湯会老人のコメント ]

とりあえず、 18° の三角関数を求めてみます。

sin(18°) ⇒ cos(18°) ⇒ tan(18°) の順に求めてみましょう。

sin(18°) = cos(72°) ですから、
図のような状態をもとに cos(72°) を求めます。AB = 1 とします。

相似な三角形を使って AB : BC = BC : BD
さらに、二等辺三角形を使って BD = 1 - BC

結局 BC² + BC - 1 = 0
したがって、負の解を捨てて、
BC = (-1 + sqrt(5)) / 2
この半分が cos(72°) ですから、

sin(18°) = (-1 + sqrt(5)) / 4

さて、 cos(18°) の値は：

cos(18°) = sqrt(1 -(sin(18°))^2)
= sqrt(1 - ((-1 + sqrt(5)) / 4)^2)
= sqrt((5 + sqrt(5))/8)

いよいよ、tan(18°)の値は：

tan(18°) = sin(18°) / cos(18°)
= ((-1 + sqrt(5)) / 4) / sqrt((5 + sqrt(5))/8)
= sqrt(1 - 2/sqrt(5))

これでいいでしょうね。

あとは、もうちょっと考えてみます。

[ 南門疾矢君のコメント ]

多絵さんと湯会老人の計算結果を少数表現にしてみます。

5/4 * sqrt(1 - 2/sqrt(5))/((5 + sqrt(5))/8)
= 約0.4490

星形内の黄金比を併用して、別の方法で検算しますと：

(OB^2*sin(72°) - BF^2*sin(104°)) * 5
= (4*cos(18°)^sin(72°))) - (2/(1 + sqrt(5))^2(sin(104°)) * 5
= 約0.4490

正しいようですね。

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