Math Battle [ 0048: 正方形の中のXの長さ ]

[ 0048: 正方形の中のXの長さ ]

[ 浅見多絵さんの出題 ]

図のように一辺が 20 の正方形の中に長さ 9 と 13 の辺とともに辺 x があり、他の手がかりはありません。 (なお、作図は正確ではありません。)

ｘの長さを求めてください。高校の数学は使ってかまいません。

[ 南門疾矢君の回答 ]

いわゆる余弦定理 (ピタゴラスの定理の拡張版) を使うしかありませんね。
「円錐山」遊歩の測地線の長さの計算に使った。 (僕は参加しなかったけど)

　三角形 ABO では：
　　① 13^2 = 20^2 + 9^2 - 2*20*9*cos(∠OAB)

　三角形 ADO では：
　　② x^2 = 20^2 + 9^2 - 2*20*9*cos(∠OAD)

① を単純に解きますと: cos(∠OAB) = 13/15

② に移りますと:

cos(∠OAD) = sin(∠OAB)ですから、
これをまず計算:
cos(∠OAD) = sqrt(1-(13/15)^2) = 2*sqrt(14)/15

結局：

x = sqrt(20^2 + 9^2 - 2*20*9*(2*sqrt(14)/15)) = 約 17.36

思ったより計算の手間がかかりましたね。狼羊さんのおかげ。

[ 湯会老人のコメント ]

狼羊さんには私もよくお世話になりますね。
それにしても変な名前。

[ 0048: 正方形の中のXの長さ ]