Math Battle [ 0049: 「円錐山」ふたたび ]

[ 0049: 「円錐山」ふたたび ]


[ 湯会老人の出題 ]

例の「円錐山」遊歩の際に実際に達した最高標高の計算が宿題になっていましたので、これを求めてください。

高校の数学で解けますが、計算は面倒でしょうね。
以下は参考図です。あまり正確ではないですが。(笑)

山頂から測地線ABにおろした垂線の足の長さ(h)と、 ついでに下り坂の長さ(x)も求めてください。


[ Sunny(深山輝天)君の回答 ]

展開図の扇型の角度は: 360° * 20/60 = 120°

余弦(cos)定理を使ってAB(測地線=最短距離の経路)の長さを求めますと:

AB = sqrt(50^2 + 60^2 - 2*50*60*cos(120°))
= sqrt(9100)
= 10*sqrt(91)

山頂(T:top)からABに垂線hをおろします。Aからこの地点までが上り坂になり、 垂線のところで最高標高、あとは下り坂になります。

hは次のように三角形TABの面積の2つの求め方を使えばもとめられます。

① AB * h * 1/2
② 50 * 60 * sin(120°) * 1/2

これらが同じなので、
h = 150*sqrt(3/91) = 27.24
(以下、概数を示します)

実際の斜面の傾きを考慮に入れた最高標高は:

(60 - 27.24) * sqrt(8)/3 = 約30.8864

なお、x(下り坂の長さ)は、2つできた直角三角形にそれぞれ ピタゴラスの定理を使えば、両方にあらわれるhが消えてxが求まります。

① x^2 + h^2 = 50^2
② (AB - x)^2 + h^2 = 60^2

ここから:
(10*sqrt(91) - x)^2 - x^2 - 1100 = 0
9100 - 20*sqrt(91)*x - 1100 = 0

x = (9100-1100) / (20*sqrt(91))
= 400/sqrt(91)

けっこう計算が大変でした。
次は僕も円錐山に行ってスパイラル計算などをしよう。

念のため、検算をします。

 h^2 + x^2 = 22500*3/91 + 160000/91
  = 2500 (= 50^2)  OKです。一応、安心。


[ Mickey(深山美紀)のコメント ]

Sunny、ご苦労さま。

この問題は1997年に韓国でおこなわれたCSAT(College Scholastic Ability Test)で 出題された難問。
正解者はどのくらいいたのかしら。
私たちも手分けして、こんな面白い問題を探しましょう。

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