Math Battle [ 0055: 100!の末尾の0の個数 ]

[ 0055: 100!の末尾の0の個数 ]

[ 浅見多絵さんの出題 ]

100! の末尾の 0 の個数を求めてください。
連続して何個続くかという意味。

[ 湯会老人の回答 ]

Wolfram|Alpha によりますと、 100! は 158 桁の整数で、末尾は以下のようになりました。

93326215443944152681699238856266700490715

96826438162146859296389521759999322991560

89414639761565182862536979208272237582511

85210916864000000000000000000000000

したがって答は 24 個になりますが、便利ツールに頼るのはインチキ。
実際に、10 で割り切って商を残すことが何回できるかを調べてみましょう。

しかし、これだけ大きい数に対して正確な整数計算をするのは不可能。
困ったときの「整数論」頼み。
ルジャンドルの公式の出番です。

証明は省略して、末尾で連続する 0 の個数は：
100/5 + 100/25 = 20 + 4 = 24

でした。

[ 浅見多絵さんの回答 >

もっと素朴に考えましょうよ。 1〜100 の範囲で:

ここまでで末尾の 0 は：

a*2 + b + min(c,d) = 2 + 9 + 10 = 21

さらに： (50*2), (25*4), (5*20) によってそれぞれ「更に余分の 0」ができるため、 100! の末尾にできる連続する 0 の合計数は:

21 + 3 = 24 個です。

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