Math Battle [ 0060: 内角を３等分すると？ ]

[ 0060: 内角を３等分すると？ ]

[ 湯会老人の出題 ]

内角合計 (180°) が 3 等分されているという意味ではありません。

以下の図で示すように ∠BAC が 3 等分されるように 2 点 D, E が辺 BC 上に置かれています。
このとき三角形 ABC は二等辺三角形 (AB = AC) になることを示してください。

これ以上の手がかりはありませんし、図も不正確に描いてあります。

[ 千手春弥さんの回答 ]

？？？？？
湯会老人、ボケたのかな？

条件を書き忘れていますね。

三角形 ABC の外接円の中心を O とし、三角形 ABD の外接円と三角形 ACE の外接円が O を通るものとします。

これが重要な条件です。

正確な図解は省略しますが、記述が読みにくくならないように：
∠BAC を 3 分割した角度を a、∠ABC を b、∠ACB を c と呼ぶことにします。

円周角や中心角を利用できます。

2*c = ∠AOB = ∠ADB = 180° - (a + b)
2*b = ∠AOC = ∠AEC = 180° - (a + c)

両辺をそれぞれ引くと： 2*(c - b) = c - b
これは b = c ということ。

したがって、三角形 ABC は二等辺三角形であることが示されました。

[ 湯会老人のコメント ]

ごめん、ごめん。
酒を飲みながら書いたので。
それにしても千手さん。よく抜けた条件を見抜きましたね。

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