[ 南門疾矢君の出題 ]

簡単そうに見えて計算にてこずっている問題です。

どなたか解いてください。

[ 浅見多絵さんの回答 ]

sin(∠AEF) は、 三角形 AEF の面積、および ∠AEF をはさむ 2 辺から求めることができます。 辺 AE と EF はピタゴラスの定理の応用です。

三角形 AEF の面積は「包囲網」 (笑) となる三角形 (と四角形) の面積合計を求め、 それを外形の長方形の面積から引くことで得られます。

一本 AF を結ぶ線を引くだけで見通しがよくなりますね。

計算を始めるまえに:

長方形の底辺の長さの半分を a、高さを b、対角線 BD を c とあらわします。
式を途中まで見やすくするためだけです。
a = 20/b, c = sqrt(1600/b^2 + b^2)

AE = sqrt(a^2 + b^2)
EF = sqrt((2*a * 5/c - a)^2 + (b * (1-5/c))^2))

三角形ABEの面積 = a * b * 1/2 = 10 (自明)
三角形ADFの面積 = 2*a * b * 5/c * 1/2 = 100/c

残りの四角形は 2 個の三角形 (CDF, CEF) に分割して:
(a * b * (1-5/c) * 1/2) + (2*a * b * 5/c * 1/2)
　= 10 - 50/c + 100/c
　= 10 + 50/c

三角形 AEF の面積 = 40 - (10 + 100/c + 10 + 50/c)
　= 20 - 150/c

いずれにせよ、ここまではまだ簡単です。

便宜的に使った a と c をまず b に戻します。
AE = sqrt((400/b^2) + b^2)
EF = sqrt(40/b * 5/sqrt(1600/b^2 + b^2) - 20/b)^2
　+ (b * (1-5/sqrt(1600/b^2))+b^2)^2))

うーん、どうしようもなく式が複雑になりましたね。
狼羊さん を使いましょう。

最初の方針通り、三角形 AEF の面積の 2 倍を (AE*EF) で割ったものが sin(∠AEF) になります。

あれれ、 b が消えませんでしたね。どこが間違ったのかな。
三奈さん、教えてください。

[ 西尾三奈さんのコメント ]

いかにも正弦計算の定石みたいな図ですが、多絵さんがトライされたように 計算が煩雑ですね。

AF を計算して余弦定理から cos (∠AEF) をまず求め、さらに sin(∠AEF) を 求めるという回り道もありますが、その際、やはり分母 (AE*EF) がネックになります。 こんな複雑な式はどうにもなりません。

気になるのは直角三角形 BCD に 内接円 があり、 F が内接点 になっていること。 これを手がかりにしましょう。

内接円から b を求めてみましょう。
2*a = 40/b = (b-5) + (c-5)
　= b + sqrt(1600/b^2 + b^2) - 10

正の解として b = (1 + sqrt(161))/2
　= 約 6.844 　が得られました。!!!

これを使って、他の値を次々と求めることができます:
a = 20/6.844 = 2.922
c = sqrt((40/6.844)^2 + 6.844^2)
　= 約8.9999

AE = sqrt((400/6.844^2) + 6.844^2)
　= 約 7.442
EF = sqrt((2*a * 5/c - a)^2 + (b * (1-5/c))^2)
　= sqrt((40/6.844*5/10.77 - 2.922)^2 - (6.844*(1-5/8.9999))^2))
　= 約 3.035

三角形 AEF の面積 = 20 - 150/c = 約 3.333

sin(∠AEF) = 3.333 * 2 /(7.442 * 3.035)
　= 約 0.29 　これでいいのかな？

なお、計算は筆算ではとても無理なので、狼羊さんを使いました。

[ 浅見多絵さんのコメント ]

三奈さん、ありがとう !!!
内接円と三角形の辺の長さの関係から b がまず確定することには 気がつきませんでした。

今度は私が検算をしてみましょうか。

AF = sqrt((2*a*(1-5/c))^2 + (b*5/c)^2))
　= 4.6047 次に余弦定理。

cos(∠AEF) = (AE^2 + EF^2 - AF^2)/(2*AE*EF)
　= (7.442^2+3.035^2-4.6047^2)/(2*7.442*3.035)
　= 0.9606

sin(∠AEF) = sqrt(1 - 0.9606^2)
　= 約 0.278

正解かどうかわかりませんが、まずまずもっともらしい値になりました。

[ 湯会老人のコメント ]

いかにも「brute force」 (力ずく) の典型みたいな計算問題ですね。 もっとエレガントな解法はないかな。 2 人の計算結果に差がありますので、 私も見直してみましょう。

[ 千手春弥さんのコメント ]

狼羊さんの助けを借りたとはいえ、よくもこんな数値計算をやりましたね。 三奈さん、すごい。時間があったら検算をしてみます。

[ 広世正憲君のコメント ]

僕は三角形 AEF の面積計算にあたって、 包囲網方式ではなく計算済みの辺の長さを利用して ヘロンの公式 を使い、 2/(AE*EF) をかけたところ、 sin(∠AEF) は約0.278ぐらいの値になりました。 どれが正しいのでしょう？

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