[ 0068: 千手春弥さんの出題 ]

次の方程式をサクッと解いてください。 ( MIT での問題だったかな？ )

[ 西尾三奈さんの回答 ]

平方根が 2 つありますね。二乗を 2 回やらないといけません。

32, 6, 36, 16 が出てきて、(x^2 + 32) と (36/x^2 + 16) が 平方数になるような雰囲気ですから、試しに x = 2 を代入しますと 両辺とも 8 になりました。

解の一つは 2 です。

まず 6/x を移項します。
(x^2 - 6)/x + sqrt(x^2 + 32) = sqrt(36/x^2 + 16)

次に両辺を 2 乗します。
(x^2 - 12 + 36/x^2) + 2*(x^2 - 6)/x*sqrt(x^2 + 32)
　+ x^2 + 32 = 36/x^2 + 16
かなり項が消えますね。(36/x^2 とか)

さらに簡単にして：
2*(x^2 - 6)/x*sqrt(x^2 + 32) = 2*x^2 + 4

両辺を 2 で割ります。
(x^2 - 6)/x*sqrt(x^2 + 32) = x^2 + 2

また両辺を 2 乗して整理し、左辺に全部まとめますと：
x^4 + 20*x^2 - 348 + 1152/x^2 - x^4 - 4*x^2 - 4
x^4 の項が消えます。

書き直しますと:
16*x^2 - 352 + 1152/x^2 = 0

さらに両辺を 16 で割ります。しつこいなあ。

ああ、ついに苦労が報われました。:

x^2 - 22 + 72/x^2 = 0
22 = 4 + 18, 72 = 4 * 18 ですから、因数分解達成 !!!

x^2 - 22 + 72/x^2 =
　= (x^2 - 4)*(x^2 - 18)/x^2
　= (x - 2)*(x + 2)*
　　(x - 3*sqrt(2))*(x + 3*sqrt(2))/x^2

解が 4 個ありますね。

ただし、途中で 2 乗を 2 回していますので、 本当の解でないものが含まれている可能性があります。 チェックしましょう。

▪ 2 はチェック済み。解です。

▪ -2 を両辺に代入しますと：
　左辺 = 4
　右辺 = 2
　解ではありません。

▪ 3*ｓｑｒｔ(2) を両辺に代入しますと：
　左辺 = 8*sqrt(2)
　右辺 = 4*sqrt(2)
　解ではありません。

▪ -3*sqrt(2) を両辺に代入しますと：
　左辺 = 2*sqrt(2)
　右辺 = 2*sqrt(2)
　解です。

結局、解は 2 と -3*sqrt(2) でした。

もとの方程式のグラフはこんな感じですね。

[ 湯会老人のコメント ]

こんなの解けるとは思いませんでした。
多絵さんに似たところがありますね。

彼女は私の出す問題 (難問) に対してギブアップしたことはなく、 常に食いついてきました。 素敵な知的関係を築いてください。

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