Math Battle [ 0074: 正方形の中の2個の半円 ]

[ 0074: 正方形の中の 2 個の半円 ]

[ 千手春弥さんの出題 ]

図のように正方形の中の 2 個の半円がピッタリ接しています。
このとき、大きいほうの半円 (A) の面積は小さいほうの半円 (B) の面積の何倍でしょうか？

[ 大宙乗児君の回答 ]

A の半径を a、B の半径を b とします。
中心間距離は: a + b
これを斜辺とする直角三角形を考えます。
高さは: a
底辺は: 2*a - b
(正方形の辺の長さ(= 2*a)から右に余っている b を引いたもの)

ピタゴラスの定理により:
a^2 + 4*a^2 - 4*a*b + b^2 = a^2 + 2*a*b + b^2
4*a^2 = 6*a*b
したがって a = (3/2)*b
面積の比は： (3/2)^2 = 2.25

でした。

[ 広世正憲君のコメント ]

うーん、なるほど。
「底辺は: 2*a - b」には気がつかなかったなあ。

[ 0074: 正方形の中の2個の半円 ]