Math Battle [ 0075: 一辺を共有する二等辺三角形 ]

[ 0075: 一辺を共有する二等辺三角形 ]

[ 浅見多絵さんの出題 ]

図のように相似な二等辺三角形が一辺を共有する形で接しています。 AとDの面積比が 9 : 1 であるとき、 cos(α) を求めてください。

[ 広世正憲君の回答 ]

面積比から、対応する辺の比は 3 : 1 ですね。
大きいほうの二等辺三角形の 2 つの辺の長さを a、底辺の長さを b としますと、小さいほうの二等辺三角形の 2 つの辺の長さは b、底辺の長さは (1/3)*b。

3 辺の長さがわかりましたので、余弦定理がつかえます。

cos(α) = (b^2 + b^2 - (1/3)*b^2) / (2 * b * b)
　= (1 + 1 - 1/9) / 2
　= 17/18

[ 湯会老人のコメント ]

正憲君、問題の読みまちがいですね。 A と D はそれぞれの三角形の面積ではなく、着色された領域です。それに cos が 17/18 になる角度は 19.19° ぐらいのはず。
もっと複雑な計算になりますので、どなたか挑戦してください。

[ 浅見多絵さんのコメント ]

すみません。私も軽い問題だと勘違いしていました。私が挑戦します。

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