Math Battle [ 0092: ランダムウオーク円周率 ]

[ 0092: ランダムウオーク円周率 ]

[ 西尾三奈さんの出題 ]

青天中学のグラウンドで棒を投げて円周率の近似値を求めることをやったそうですが、暗に三角関数（sin）が隠れていました。これは「ビュフォンの針 (Buffon's Needle)」ですね。

　(($y - abs(sin($phi))) * ($y + abs(sin($phi))) <= 0)

というのは、棒が何らかの形で中央の線にかかることですね。
すなわち 2 次元の世界です。
これに対して 1 次元の世界で円周率を求める方法をご紹介します。

用意するのは棒ではなくコインです。

コインフリップ（多絵さんのお好きな丁半でもいいです：笑）で、表なら右へ 1 進み裏なら左に 1 進みます。これをある回数続け最後の位置 (原点からの距離 d) を求めます。
上記のランダムウオークをさらにある回数続け d の平均を求めます。

結果は： average_distance = sqrt(2*n / pi)

になりますが、この式がどうやって出てくるかわかりますか？

グラフは以下のとおりです。

傾き (実は 2 / pi) の逆数をとり 2 倍すると円周率の近似値が求まります。

[ 広世正憲君のコメント ]

違った視点で考えてみましょう。
直線上をランダムな丁半で行ったり来たりするのを、極座標による円運動に置き換えてみます。

そうすると 1 セット (n 回) が終わったときの位置を横軸に投影して絶対値をとれば a*abs(cos(θ)) になって円周率が登場します。当然ゼロに近い値の頻度が高くなります。さらにこれを N 回おこなって平均をとれば統計的に円周率が求まるのではないでしょうか？

多絵さん、乱数を使った Perl スクリプトを使って Excel でヒストグラムを描くなどしてください。正規分布は登場しないでしょう。

[ 浅見多絵さんのコメント ]

まず三奈ちゃんの説明にしたがって Perl スクリプトを書き実行してみました。

#!/usr/local/bin/perl

$n = 1000; # 1セットあたりの試行回数。
$N = 1000; # セットの繰り返し回数。
$d1 = 0; # 1セット終了後のスタート点からの距離。
$d2 = 0; # $Nセット終了後の距離合計。

for ($i=1; $i<=$N; $i++) {
　$d1 = 0;
　for ($j=0; $j<=$n; $j++) {
　　$d1 += ((rand(1) > 0.5) ? 1 : -1);
　}
　$d2 += abs($d1); # 合計してゆく。
}
$average = $d2/$N; # 全セットの距離平均。

printf (
　"セット数: %4d 距離平均: %.4f piの近似値: %.4f\n",
　$N, $average_distance, 2*$N/($average**2);