[ 千手春弥さんの出題 ]

下図のように単位円 (unit circle) に内接する半径rの円があり、 それに対して単位円の周上の同じ点 (A) から 2 本の接線 (AB と AC) を引くとします。

これらの接線の長さをそれぞれ a, b としますと、 r を a, b の関数としてあらわしてください。

[ 浅見多絵さんの回答 ]

単位円の原点は (0, 0)、半径は 1 ですね。
小円は計算しやすいように、
単位円の真下方向で単位円に内接しているものとします。
中心は (0, r-1)

小円に外接する直線は
(x1、 y1=sqrt(1-x1^2)) と (x2、 y2=sqrt(1-x2^2))を 結ぶものとします。
これらの 2 点はいずれも単位円周上にあります。

式は:
(y2-y1)*x - (x2-x1)*y + (x2-x1)*y1-(y2-y1)*x1 = 0

直線 a*x + b*y + c = 0 と点 (x0, y0) の距離は
|a*x0 + b*y0 + c| / sqrt(a^2 + b^2) ですから
小円の中心を (0, -1+r) とし、距離を r として:

abs((y2-y1)*(1-r)+(x2-x1)*y1-(y2-y1)*x1) / sqrt((y2-y1)^2 + (x2-x1)^2)
　= r

を解きたいのですが、変数が多すぎて苦戦しています。
どなたか、ヘルプ。

[ 湯会老人のコメント ]

これでは y1 と y2 は負の値になりませんね。
いっそのこと 点 A を (cos(θ), sin(θ)) とし、
点 A を通る直線を p*x + y - (p*cos(θ)+sin(θ)) = 0
としてみたらどうでしょう。

abs((-1+r)-(p*cos(θ)+sin(θ)))/sqrt(p^2 + 1^2) = r

r と θ と p の関係式が得られますが、これを辺長 a と b にどう結びつけるか
もうちょっと考えてみます。

[ 西尾三奈さんのコメント ]

点 A と点 B の座標をそれぞれ (cos(α), sin(α)) と (cos(β), sin(β)) としてみましょう。

(sin(β)-sin(α))*x - (cos(β)-cos(α))*y
- cos(α)*(sin(β)-sin(α)) + sin(α)*(cos(β)-cos(α)) = 0

点 (0, r-1) と上記直線の距離の式を少し簡略化しますと：
abs((cos(β)-cos(α))*(1-r) + sin(α-β)) / sqrt(2 - 2*cos(α-β)) = r

どうも手がかりがありませんね。

[ 広世正憲君のコメント ]

線分 AB と小円が接する点を B2 として、ピタゴラスの定理を使ってみますと。

A(cos(θ), sin(θ)) と小円の中心 O2 (0, -1+r) の距離は:
　= sqrt(cos(θ)^2 + (sin(θ)+1-r)^2)
　= sqrt(2*(1-r)*sin(θ)-r+1))

A と B2 の距離は：
　= sqrt(2*(1-r)*sin(θ)-r^2-r+1)

余弦定理を使って ∠B2AO2 のコサインを次の式で

((2*(1-r)*sin(θ)-r+1)+(2*(1-r)*sin(θ)-r+1)-r^2)/
　(2*sqrt(2*(1-r)*sin(θ)-r^2-r+1)*sqrt(2*(1-r)*sin(θ)-r+1)

求めたいのですが、うまくゆきませんね。

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