Math Battle [ 0112: 三角数数列と収束 ]

[ 0112: 三角数数列と収束 ]

[ 三方万理先生の出題 ]

図のように三角数の数列があります。一般項 f(n) と f(n) / f(n+1) のグラフを描いてください。

[ 大宙乗児君の回答 ]

青で f(n)、赤で f(n+1) / f(n) のグラフを描いてみました。

f(n) / f(n+1) のグラフだけを拡大しますと: 0.990 あたりに収束しそうですね。

なお、f(n)の2階差分をとると 1 になりますから f(n)は2次関数。
f(n) = (1/2)*(n^2 + n) ですか？

[ 三方万理先生のコメント ]

乗児君、f(n) = (1/2)*(n^2 + n) にはよく気がつきましたね。
そのとおりですよ。f(n) / f(n+1) は 1 に収束します。

[ 広世正憲君のコメント ]

これはパスカルが少年時代に考えた式:

　1+2+3+4+...+n = n*(n+1)/2

と同じでしたね。

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