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[ 0114: 正三角形をもとにした計算 ] [ 浅見多絵さんの出題 ] 図のように3本の平行棒に各頂点がひっかかるように 正三角形 (equilateral triangle) があります。 α は当然 60° ですね。 このとき、tan(θ)/tan(α) = (b+a)/(b-a) を証明してください。
*** 問題が間違っていると思っていたら... [ 千手春弥さんの回答 ] 正三角形のいちばん下の頂点を (0, 0) とします。こうしても一般性は失われません。 正三角形の辺の長さを c とし、いずれもピタゴラスの定理を使います。
計算式が煩雑すぎますね。間違っているのかな？ [ 西尾三奈さんのコメント ] 正三角形の横幅を考えてみたらどうでしょう。 縦方向に占める長さを tan で割ると横幅が得られます。
■ 幅 ①: 右の辺では (a+b)/tan(θ)
tan の加法定理を使って
tan(θ-60°)
③ = ① + ② は: tan(α=60°) = sqrt(3) を使ったのですが。 うーむ、狼羊さんも解けませんね。 意外な発想ができる中学生の皆さん、 解いてみてください。 [ 湯会老人のコメント ] 皆さん、式をそんなに難しくする必要はありません。 出題が間違っているのではないでしょうか。 ① (a+b)/tan(θ) ② -b/tan(α+θ)
③ a/tan(α+θ-(180°-α)) (a+b)/tan(θ) - b/tan(α+θ) = a/tan(-α+θ) にしかならないと思います。 [ 大宙麗亜ちゃんのコメント ] どうも問題にだまされているようなので、図に補助線を追加してみました。
x = (b + a)/tan(θ) = (b - a)/tan(?)
180° までの範囲であれば 出題が間違っています !!! [ 湯会老人の 正解 ] 意外な発想が必要でした。 tan にこだわらず、まずsinを使います。 正三角形の辺の長さを暫定的に c とします。
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| b + a | c*sin(θ) | これはすぐわかります。 | ||||
| a | c*sin(θ-α) = c*sin(θ-60°) | ちょっとわかりにくいですね。 | ||||
| b - a = (b+a) - 2*a | c*sin(θ) - 2*c*sin(θ-60°) | cos(α) が出てきます。 |
(b+a)/(b-a) = c*sin(θ)/(c*sin(θ)-2*c*sin(θ-60°))
= sin(θ)/(sin(θ)-2*sin(θ-60°))
sin の加法定理によって右辺の分母は:
sin(θ) - 2*(1/2*sin(θ)-sqrt(3)/2*cos(θ))
うまいことに sin(θ) が消えて、残るのは:
sqrt(3)*cos(θ)
sqrt(3) = tan(60°) = tan(α) なので:
(b+a)/(b-a) = sin(θ)/(tan(α)*cos(θ))
= tan(θ)/tan(α)
題意のとおりできました。
[ 浅見多絵さんのコメント ]
うわっ、こんな解きかたがあったとは気がつきませんでした。
全員降参。
[ 0118: 1/n^(1/n) という級数和の収束性 ]
[ 0114: 正三角形をもとにした計算 ]