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[ 0119: 奇怪な数列: 5項目は？ ]
[ 湯会老人の出題 ]
1 項目から 4 項目までが 1,3,5,7 であるとします。
5 項目は何でしょう？ と聞かれると、常識的には 9 ですね。
ところが 217341 になるという奇怪な数列もあるのです。
だれが思いついたかは知りませんが。
次の Perl スクリプトで確認してみてください。
#!/usr/local/bin/perl
for ($n=1; $n<=10; $n++) {
$v = (18111/2)*($n**4) - 90555*($n**3)
+ (633885/2)*($n**2) - 452773*$n + 217331;
printf("%d\n", $v);
}
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結果は：
1
3
5
7
217341
1086671
3259993
7606635
15213257
27383851
という感じになります。4次関数ではこういうことはありえますね。
[ 広世正憲君のコメント ]
f(n) = a*n^4 + b*n^3 + c*n^2 + d^n + e
という4次関数を考えてみます。
f(1) = a + b + c + d + e = 1
f(2) = 16*a + 8*b + 4*c + 2*d + e = 3
f(3) = 81*a + 27*b + 9*c + 3*d + e = 5
f(4) = 256*a + 64*b + 16*c + 4*d + e = 7
変数が 5 個に対して式が 4 個しかありませんが、これを解きますと：
b = -10*a
c = 35*a
d = 2-50*a
e = 24*a -1
a は任意ですので、a = 18111/2 としますと：
b = -90555
c = 633885/2
d = -452773
e = 217331
になります。不思議でもなんでもありません。
[ 大宙乗児君のコメント ]
なるほどなあ。
じゃあ、試しに a=1 にしまして:
f(n) = n^4 - 10*n^3 + 35*n^2 - 48*n + 23
f(5) = 625 - 1250 + 875 - 48 + 23 = 225
これではダメでした。正攻法で次の式からaを求めましょう。
f(5)
= a*625+(-10*a)*125+35*a*25+(2-50*a)*5+24*a-1
= 217341
これを解きますと、解は a=18111/2 でキマリですね。あとは:
b = -90555
c = 633885/2
d = -452773
e = 217331
[ 西尾三奈さんのコメント ]
正憲君も乗児君も中学生とは思えない。
センスが良くて即答力が強くなってきましたね。
本郷に来なさい。おねえさんがお寿司屋さんに連れてってあげる。
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