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[ 0126: ｘｙ2次方程式の整数解 ]
[ 三方万理先生の出題 ]
x と y に関する 2 次方程式
5x^2 - 2xy - 16x - 4y^2 - 18y + 2 = 0
の整数解を全部求めてください。
[ 広世正憲君の回答 ]
式を変形しますと：
5x^2 - 2x(y + 8) - 2y(2y + 9) + 2 = 0
4y^2 - (2x - 18)y + (5x^2 - 16x + 2) = 0
これを yについて解きます。
y = (±sqrt(21x^2 - 46x + 89) - x - 9)/4
「21x^2 - 46x + 89」を 平方数 にする x を選んで、
結局整数解は:
(x=-20, y=27), (x=2, y=5), (x=20, y=29), (x=34, y=27) の 4 個です。
[ 大宙乗児君のコメント ]
なるほど。
まず a^2 = (21x^2 - 46x + 89) で a が整数になるような x を求めてみます。
■ x = -20 (a = ±97)
■ x = -11 (a = ±56)
■ x = 1 (a = ±8)
■ x = 2 (a = ±9)
■ x = 20 (a = ±87)
■ x = 34 (a = ±151)
です。この中で y が整数になるのは正憲君の回答どおりです。
[ 浅見多絵さんのコメント ]
整数解をもれなく求めるのは大変ですね。二人とも優秀です。
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