Math Battle [ 0127: 三角形の中の辺x ]

[ 0127: 三角形の中の辺x ]

[ 三方万理先生の出題 ]

下図に示すxの長さを求めてください。

[ 大宙乗児君の回答 ]

最初、余弦定理から攻めようかと思いましたが、まず角度や辺の関係から考えました。図は正確ではありません。

頂角を 2αとαに分割し底辺にいたる補助線を引きますと：

■ 左側の三角形は正三角形。したがって αは30°です。
■ ちなみに右側の三角形は二等辺三角形。

ここで余弦定理登場。

cos(α) = cos(30°) = sqrt(3)/2
　= ((x+1)^2 + (2*x)^2 - x^2) / (2*(x+1)*(2*x))

煩雑ですが、これを解きますと解は一つ。

x = (1 + sqrt(3)) / 2 です。

[ 丘品花志先生のコメント ]

うーむ、たいしたもんだ。乗児、一段と賢くなったなあ。

[ 千手春弥さんのコメント ]

この解法は思いつきませんでしたね。
変数が2個(xとα)ですから、余弦定理を使って2個の方程式にするという手もありますが、 3倍角が出てくるためわけがわからなくなります。中学生諸君の直感力おそるべし。

[ 広世正憲君のコメント ]

α = 30° ということは、外側の三角形は直角三角形ですからピタゴラスの定理が使えますね。

x^2 + (x+1)^2 = (2*x)^2
x^2 + x^2 + 2*x + 1 = 4*x^2
2*x^2 - 2*x - 1 = 0
x = (2 ± sqrt(4 + 8)) / 4
= (1 ± sqrt(3)) / 2

正の解をとります。 x = (1 + sqrt(3)) / 2

[ 0127: 三角形の中の辺x ]