Math Battle [ 0129: 長方形の中の2個の半円 ]

[ 0129: 長方形の中の2個の半円 ]

[ 三方万理先生の出題 ]

図に示すように長方形の中に半円があります。 tan(α) を求めてください。

[ 浅見多絵さんの回答 ]

長方形の左下隅の座標を (0, 0)、右上隅を (2, 1) とします。

小さい半円は: x^2 * (y - 1/2)^2 = 1/4
大きい半円は: (x - 1)^2 + y^2 = 1
この交点は (0, 0) 以外に (2/5, 4/5)。

2 - 2/5 = 8/5; 1 - 4/5 = 1/5　から
この点から長方形の右上隅にひいた直線の傾きは： 1/8

以上から：

tan(θ) = tan(arctan(1/2) - arctan(1/8))
　= tan(arctan(6/17)) = 6/17

[ 広世正憲君のコメント ]

arctan(1/2) - arctan(1/8) = arctan(6/17)
になるのはなぜでしょうか？

[ 浅見多絵さんのコメント ]

arctan の加法定理です。

arctan(1/2) - arctan(1/8)
　= arctan((1/2 - 1/8)/(1 + (1/2 * 1/8)))
　= arctan((3/8)/(17/16)) = arctan(6/17)

になります。

[ 広世正憲君のコメント ]

あっ、わかりました。ありがとうございます。

[ 0129: 長方形の中の2個の半円 ]