Math Battle [ 0130: ２個の同心円と接線 ]

[ 0130: ２個の同心円と接線 ]

[ 西尾三奈さんの出題 ]

図に示すように 2 個の同心円があります。
小円の面積/ドーナツの面積 = (1-cos(β)) / (1+cos(β))
であることを示してください。

[ 大宙麗亜ちゃんの回答 ]

初めて回答します。三角関数はおにいちゃんに習いました。

大円の半径を r2、小円の半径を r1 としますと
r1 = r2 * sin(β/2)

■ 小円の面積
= π*r1^2 = π*r^2*sin(β/2)^2

■ ドーナツの面積
= π*(r2^2 - r1^2)

π*(r2^2 - r1^2)
= π*(r2^2 - r2^2*sin(β/2)^2)
= π*r2^2*(1 - sin(β/2)^2)

小円の面積/ドーナツの面積
= sin(β/2)^2/(1 - sin(β/2)^2)

計算が前後しますが、半角の公式から：

* sin(β/2)^2 = (1 - cos(β))/2
* 1 - sin(β/2)^2 = (1 + cos(β))/2

これらを使って:
小円の面積 / ドーナツの面積
= (1-cos(β)) / (1+cos(β))
です。

[ 西尾三奈さんのコメント ]

すごい、レイアちゃん。こんな問題が解けるの !!!
さすが湯会老人のお孫さんで乗児君の妹さん。

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