[ 千手春弥さんの出題 ]

図に示すように円の中に 2 個の正三角形があり、これらは一個の頂点を共有しています。 他の頂点はすべて円周上にあります。円の半径は r とします。

このとき
a^2 + a*b + b^2 = 3*r^2
であることを示してください。

[ 湯会老人の回答 ]

前回、(私を含めて) 間違った回答やコメントがいろいろあり、 読者の皆さんを混乱させたお詫びをかねて、 正解をあらためて書き直すことにします。

円周上にある正三角形の頂点を P, Q (上側の正三角形) および R, S (下側の正三角形) とします。 錯角 (60°) が同じであることから、辺 PQ と辺 RS は平行です。

4点 P, Q, R, S の座標を以下のようにしても一般性を失いません。

　P (-b/2, b*sqrt(3)/2)
　Q ( b/2, b*sqrt(3)/2)
　R (-a/2, -a*sqrt(3)/2)
　S ( a/2, -a*sqrt(3)/2)

三角形 PQR の外接円の半径 r は
∠PQR (=60°) と辺長 PR から求められます。

r = PR/(2*sin(60°))

ここで、PR は: (計算がやや煩雑ですが)

PR
= sqrt(((a+b)*sqrt(3)/2)^2+((a-b)/2)^2)
= sqrt(a^2 + a*b + b^2)

したがって r は：

r = PR/(2*sin(60°)) = sqrt(a^2 + a*b + b^2)/sqrt(3)

両辺を 2 乗すると:

r^2 = (a^2 + a*b + b^2)/3

すなわち:

a^2 + a*b + b^2 = 3*r^2

できました。

全部余弦定理を使う方法もあります。

正三角形同士が頭を接する点を X としますと、∠PXR=120°。

三角形 PXR に関する余弦定理から:
a^2 + b^2 - PR^2 = 2*(-1/2)*a*b

すなわち： PR^2 = a^2 + a*b + b^2

次に三角形PORにおいて：
円周角(60°)に対する中心角PORは120°ですから、

r^2 + r^2 - PR^2 = 2*(-1/2)*r*r

これに先ほど求めた PR^2 を使って:

PR^2 = a^2 + a*b + b^2 = 3*r^2

としてもいいです。このほうが計算が楽かな。

[ 西尾三奈さんのコメント ]

なるほど、言われてみれは納得。

a と b と含んだ PR を求めれば、あとは外接円の半径を求めるなり、 半径がわかっているとして余弦定理を使うなりして 最後の等式が導き出せることには気がつきませんでした。

[ 大宙乗児君のコメント ]

余弦定理の使いかたがおかしかったですね。
だれが QOR = 120° なんて言い出したのだろう？(笑い)

[ 千手春弥さんのコメント ]

私は結局からかってなんていませんでした。湯会老人に謝謝。

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[ 0133: 立方体頂点上の2匹の平均距離 ]

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