Math Battle [ 0132: 直角三角形の辺上の正三角形 ]

[ 0132: 直角三角形の辺上の正三角形 ]

[ 三方万理先生の出題 ]

図に示すように直角三角形の辺上に 3 頂点を置いた形で正三角形 (辺長は x) があります。

このとき：

x = 2*a*b / sqrt(3*a^2 + 3*b^2)

を証明してください。

[ 大宙麗亜ちゃんの回答 ]

「回転の発想」をしてみます。

直角三角形の斜辺を直角三角形の底辺と考えますと、正三角形の底辺もその中に含まれており、これら 2 つの三角形は高さが同じです。

まず、面積を求めます。

■ 直角三角形: a*b/2
■ 正三角形:　 (sqrt(3)/4)*x^2

面積の比は底辺長の比と同じですから:

a*b/2 : (sqrt(3)/4)*x^2 = sqrt(a^2 + b^2) : x
2*a*b : sqrt(3)*x^2 = sqrt(a^2 + b^2) : x

したがって：
2*a*b*x = sqrt(3*a^2 + 3*b^2)*x^2
x = 2*a*b / sqrt(3*a^2 + 3*b^2)

できました。

[ 西尾三奈さんのコメント ]

レイアちゃん、凄い。天才少女あらわる... ですね。
斜辺を底辺と考える発想には気がつきませんでした。

[ 三方万理先生のコメント ]

うまい解法ですね。
中学生諸君、小学生に負けるな !!!

[ 0132: 直角三角形の辺上の正三角形 ]