Math Battle [ 0133: 立方体頂点上の2匹の平均距離 ]

[ 0133: 立方体頂点上の2匹の平均距離 ]

[ 丘品花志先生の出題 ]

図に示すように 1 辺の長さが 1 の立方体の上面の対角頂点に 2 匹の虫がいます。
これらは同時に 3 方向 (隣の頂点のいずれか) に動き続けるものとします。
移動途中は無視して、2 匹が頂点にいる状態での平均距離を長時間にわたって求めると
どういう値になるでしょうか？

[ 浅見多絵さんの回答 ]

左下隅の頂点を原点（0,0,0）とし、 2 匹のスタート位置をそれぞれ（0,0,1）
（1,1,1）とします。

すべての頂点にわたって、まず次に動けるベクトルを求めてみます。

(0,0,0): (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)
(1,0,0): (-1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)
(1,1,0): (-1,0,0) (0,-1,0) (0,0,1)
(0,1,0): (1,0,0) (0,-1,0) (0,0,1)
(0,0,1): (1,0,0) (0,1,0) (0,0,-1)
(1,0,1): (-1,0,0) (0,1,0) (0,0,-1)
(1,1,1): (-1,0,0) (0,-1,0) (0,0,-1)
(0,1,1): (1,0,0) (0,-1,0) (0,0,-1)

これで乱数を使って 2 匹の間の平均距離を計算しますと：

約1.06ぐらいになりました。 ???

　A) 約 1.503
　B) 約 1.1218
　C) 約 1.640
　D) 約 1.037
　E) 約 1.573

上記の選択肢のどれにもあてはまりませんね。
うーむ。合理的に考えてみましょう。
1 匹から見た他の 1 匹の位置は 8 通りあり、

▪ 距離 0 が 1 通り。
▪ 距離 1 が 3 通り。
▪ 距離 sqrt(2) が 3 通り。
▪ 距離 sqrt(3) が 1 通り

になります。
そうすると平均は: (0 + 1*3 + sqrt(2)*3 + sqrt(3)) / 8
　= 約 1.1218
ですね。

私のプログラムがどこかおかしいのかな？

[ 広世正憲君のコメント ]

多絵さん、プログラムのソースコードを見せてください。
どこかで間違っていると思います。

[ 湯会老人のコメント ]

多絵さん、単純に考えてはいけません。
与えられた初期状態からスタートしますと、2 匹の距離が 1 になることはありません。チェス盤と同じですね。

シミュレーションプログラムのほうが正しい可能性があります。
とりあえず、各状態 (距離別) が生じる頻度を確認してください。それに説明がつけば結構です。