Math Battle [ 0134: 難問ふたたび ]

[ 0134: 難問ふたたび ]


[ 湯会ジョージ君と広世正憲君の回答 ]

だいぶ遅くなりました。二人でいろいろ議論しました。 1942 年に考えられた問題はこういうことです。

“One day it started snowing in the morning at a heavy and steady rate. A snowplow started out at noon, going 2 miles in the first hour and 1 mile in the second hour. What time did it start snowing?”

 ■ 午前中のある時刻に雪が降り始めます。
 ■ 単位時間あたりの降雪量は一定。
 ■ 正午に除雪車が除雪を開始。
 ■ 除雪車は午後 1 時までに 2 マイル進みます。
 ■ 午後 2 時までにさらに 1 マイル 進みます。
  (だんだん遅くなる)

結局、時間と除雪能力 (= 除雪車が進む速度) の関係になります。

正午を時間の原点にしまして、それから x 分前に雪が振り始めたとします。 さらに除雪車が除雪を開始した地点を地図上の原点とし、 除雪中の現在位置を d (= distance) とします。

時刻 t における未除雪の地点 d における積雪量 (snow amount) を適当な定数 C1 を使って表しますと:

fsa = C1 * (t+x)
fsa = 0 (t = -x のとき)

除雪車が進む速度 (snowplow speed) が その地点における 積雪量に反比例 するとしますと:

fsp = C2 / (t+x)

これを時間 t で積分しますと、除雪車の位置は:

最初の 60 分で 2 マイル:

fd = C2 * ln((x+60)/x) = 2
ln((x+60)/x) は ln(x+60) - ln(x) から得られます。

次の 60分 (スタート後 60分 から 120分) で 1 マイル:

fd = C2 * ln((x+120)/(x+60)) = 1
同様に ln((x+120)/(x+60)) = ln(x+120) - ln(x+60)

これから:
ln((x+60)/x) : ln((x+120)/(x+60)) = 2 : 1

すなわち:
(x+60)/x = ((x+120)/(x+60))^2

これを解きますと: x = 30*(sqrt(5) - 1)
= 約 37.08 minutes

雪が降り始めたのは: だいたい 11:23 AM です。


[ 湯会老人のコメント ]

方程式を解く計算が面倒ですので、 時間の単位を分から時間に変えたらいいと思います。

そうしますと:

(x+1)/x = (x+2)^2/(x+1)^2
(x+1)^3 = x*(x+2)^2
x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1 = x^3 + 4*x^2 + 4*x

x^3 が消えます。
x^2 - x - 1 = 0
x = 30*(-1 ± sqrt(5))
= 約 37.08 minutes

正の解をとって:

x = (-1 + sqrt(5)) / 2 時間。
分に換算すると 約 37.08 分。
上記の回答と一致しますね。


時間の単位が分であっても:
(x+60)/x = ((x+120)/(x+60))^2
(x+60)^3 = x*(x+120)^2

x^3 * 180*x^2 + 10800*x + 216000 = x^3 + 240*x^2 + 14400*x

x^3 が消え:
60*x^2 + 3600*x - 216000 = 0
x + 60x - 3600 = 0
x = (-60 ± sqrt(18000))/2

正の解をとって:
x = (-60 + 12*sqrt(3600*5))/2
= 30*(sqrt(5) - 1)
= 約 37.08 minutes

この程度の方程式だと狼羊さん (Wolfram|Alpha) に頼らなくていいです。


[ 水森美歌 (Mika) さんのコメント ]

(-1 + sqrt(5)) / 2 は 黄金比 (golden ratio) の逆数ですね。
面白い !!! こんな問題にも黄金比が隠れていたとは。

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