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[ 0134: 難問ふたたび ]
[ 大宙乗児君と広世正憲君の回答 ]
だいぶ遅くなりました。二人でいろいろ議論しました。
1942 年に考えられた問題はこういうことです。
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“One day it started snowing in the morning at a heavy and steady rate. A snowplow started out at noon, going 2 miles in the first hour and 1 mile in the second hour. What time did it start snowing?”
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■ 午前中のある時刻に雪が降り始めます。
■ 単位時間あたりの降雪量は一定。
■ 正午に除雪車が除雪を開始。
■ 除雪車は午後 1 時までに 2 マイル進みます。
■ 午後 2 時までにさらに 1 マイル 進みます。
(だんだん遅くなる)
結局、時間と除雪能力 (= 除雪車が進む速度) の関係になります。
正午を時間の原点にしまして、それから x 分前に雪が振り始めたとします。
さらに除雪車が除雪を開始した地点を地図上の原点とし、
除雪中の現在位置を d (= distance) とします。
時刻 t における未除雪の地点 d における積雪量 (snow amount) を
適当な定数 C1 を使って表しますと:
fsa = C1 * (t+x)
fsa = 0 (t = -x のとき)
除雪車が進む速度 (snowplow speed) が
その地点における 積雪量に反比例 するとしますと:
fsp = C2 / (t+x)
これを時間 t で積分しますと、除雪車の位置は：
最初の 60 分で 2 マイル：
(対数 (logarithm) があらわれます)
fd = C2 * ln((x+60)/x) = 2
ln((x+60)/x) は ln(x+60) - ln(x) から得られます。
次の 60分 (スタート後 60分 から 120分) で 1 マイル：
fd = C2 * ln((x+120)/(x+60)) = 1
同様に ln((x+120)/(x+60)) = ln(x+120) - ln(x+60)
これから:
ln((x+60)/x) : ln((x+120)/(x+60)) = 2 : 1
すなわち:
(x+60)/x = ((x+120)/(x+60))^2
これを解きますと: x = 30*(sqrt(5) - 1)
= 約 37.08 minutes
雪が降り始めたのは:
だいたい 11:23 AM です。
[ 湯会老人のコメント ]
方程式を解く計算が面倒ですので、
時間の単位を分から時間に変えたらいいと思います。
そうしますと:
(x+1)/x = (x+2)^2/(x+1)^2
(x+1)^3 = x*(x+2)^2
x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1 = x^3 + 4*x^2 + 4*x
x^3 が消えます。
x^2 - x - 1 = 0
x = 30*(-1 ± sqrt(5))
= 約 37.08 minutes
正の解をとって:
x = (-1 + sqrt(5)) / 2 時間。
分に換算すると 約 37.08 分。
上記の回答と一致しますね。
時間の単位が分であっても:
(x+60)/x = ((x+120)/(x+60))^2
(x+60)^3 = x*(x+120)^2
x^3 * 180*x^2 + 10800*x + 216000
= x^3 + 240*x^2 + 14400*x
x^3 が消え:
60*x^2 + 3600*x - 216000 = 0
x + 60x - 3600 = 0
x = (-60 ± sqrt(18000))/2
正の解をとって:
x = (-60 + 12*sqrt(3600*5))/2
= 30*(sqrt(5) - 1)
= 約 37.08 minutes
この程度の方程式だと狼羊さん (Wolfram|Alpha) に頼らなくていいです。
[ 西尾三奈さんのコメント ]
(-1 + sqrt(5)) / 2 は
黄金比 (golden ratio) の逆数ですね。
面白い !!! こんな問題にも黄金比が隠れていたとは。
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