Math Battle [ 0135: 3 乗根の和 ]

[ 0135: 3 乗根の和 ]

[ 西尾三奈さんの出題 ]

次のような 3 乗根の和の値を求めてください。途中の計算過程もすべて実数とします。複素数までスコープを拡げると煩雑ですので。

[ 湯会老人の回答 ]

計算の便宜上、次のように定義します。

a = (8 + 3*sqrt(21))^(1/3)
b = (8 - 3*sqrt(21))^(1/3)
x = a + b

x の式を 3 乗します。

x^3
= a^3 + 3*a*b*(a+b) + b^3
= 16 + 3*a*b*(a+b)
= 16 + 3*(64 - 189)^(1/3)*(a+b = x)
= 16 + 3*(-125)^(1/3)*x
= 16 - 15*x

x に関する 3 次方程式が得られます。これを解きます。

x^3 + 15*x - 16 = 0
(x - 1)*(x^2 + x + 16) = 0

実数解は 1 だけですね。

[ 西尾三奈さんのコメント ]

ありがとうございます。そのとおり、正解です。

[ 広世正憲君のコメント ]

正負を問わず実数の 3 乗根は 3 個 (実数 1 個、複素数 2 個)であることを三方万理先生から教わっています。

たとえば a は:

■ 実数解: 約 2.7913
■ 複素数解: 約 -1.3956 ± 2.4173 i

複素平面上にプロットしますと:

同様に b は:

■ 実数解: 約 -1.7913
■ 複素数解: 約 0.8956 ± 1.5513 i

a と b の組み合わせは 9 通りありますが、
a + b が実数になるのは
a = 2.7913, b = -1.7913 の場合だけですね。
a + b = 1 になります。

[ 浅見多絵さんのコメント ]

湯会老人もすごいですが、正憲君もすごいですね。理路整然。

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