Math Battle [ 0137: 0133 ふたたび ]

[ 0137: 0133 ふたたび ]

[ 丘品花志先生の出題の復習 ]

図に示すように 1 辺の長さが 1 の立方体の上面の対角頂点に 2 匹の虫がいます。これらは同時に 3 方向 (隣の頂点のいずれか) に動き続けるものとします。移動途中は無視して、2 匹が頂点にいる状態での平均距離を長時間にわたって求めるとどういう値になるでしょうか？

[ 浅見多絵さんの回答 ]

前回の回答は間違っていましたので、湯会老人にアドバイスをいただきながら再度挑戦しました。

同一平面上の対角頂点に 2 匹がいる状態からスタートしますと、縦横上下にしか動けないチェス盤の世界みたいなものですから：

　■ 距離 1 の状態 (隣の頂点同士) はありえません。
　■ 距離 sqrt(3) の状態もありえません。

初期状態 (距離 sqrt(2)) からの次の一手では距離 0 (同一頂点) になる場合と位置は違えど距離 sqrt(2) を維持する状態がありますが、距離 sqrt(2) の確率のほうが 3 倍になります。

距離 0 になりますと、次の一手では距離 sqrt(2) にしかなりません。

上記から、距離 sqrt(2) の状態のほうが多いことがわかりますが、確率計算を頭でやると混乱しますので乱数を使ったシミュレーションで統計をとってみました。結果は以下のとおりです。

Average distance: 1.0603
(0: 25.03%) (1: 0.00%) (sqrt(2): 74.97%) (sqrt(3): 0.00%)

距離 0 と距離 sqrt(2) の出現頻度の比は 1:3 でした。
これを式であらわしますと：

平均距離 = (1*0 + 3*sqrt(2))/(1 + 3) = 1.06066...

Perl スクリプトのソースコードは以下のとおりです。

#!/usr/local/bin/perl

$N = 1000000; # 試行回数。
$sum0 = 0;
$sum1 = 0;
$sum2 = 0;
$sum3 = 0;
$sum = 0;
# 初期状態。
$x1 = 0;
$y1 = 0;
$z1 = 1;
$x2 = 1;
$y2 = 1;
$z2 = 1;

MAIN: {
　my $d;
　for ($i=0; $i<$N; $i++) {
　　$d = abs($x1-$x2)+abs($y1-$y2)+abs($z1-$z2);
　　if ($d == 0) {$sum0++}
　　elsif ($d == 1) {$sum1++}
　　elsif ($d == 2) {$sum2++}
　　else {$sum3++}
　　$sum +=
　　　sqrt(($x1-$x2)**2+($y1-$y2)**2+($z1-$z2)**2);

　　# 2匹の次の位置を求める。
　　($x1,$y1,$z1) = &get_next($x1,$y1,$z1);
　　($x2,$y2,$z2) = &get_next($x2,$y2,$z2);
　}
　printf("Average distance: %.4f\n", $sum/$N);
　printf(
　　"(0: %.2f%) (1: %.2f%) (sqrt(2): %.2f%) (sqrt(3): %.2f%)\n",
　　100*$sum0/$N, 100*$sum1/$N, 100*$sum2/$N, 100*$sum3/$N);
}

sub get_next() {
　my ($x,$y,$z) = @_;
　my $choice;
　my $ran = rand(1);

　if ($ran < 1/3) {
　　$choice = 1;
　} elsif ($ran < 2/3) {
　　$choice = 2;
　} else {
　　$choice = 3;
　}

　if ($x == 0) {
　　if ($y == 0) {
　　　if ($z == 0) {
　　　　if ($choice == 1) {$x+=1}
　　　　elsif ($choice == 2) {$y+=1}
　　　　else {$z+=1}
　　　} else {
　　　　if ($choice == 1) {$x+=1}
　　　　elsif ($choice == 2) {$y+=1}
　　　　else {$z+=-1}
　　　}
　　} else {
　　　if ($z == 0) {
　　　　if ($choice == 1) {$x+=1}
　　　　elsif ($choice == 2) {$y+=-1}
　　　　else {$z+=1}
　　　} else {
　　　　if ($choice == 1) {$x+=1}
　　　　elsif ($choice == 2) {$y+=-1}
　　　　else {$z+=-1}
　　　}
　　}
　} else {
　　if ($y == 0) {
　　　if ($z == 0) {
　　　if ($choice == 1) {$x+=-1}
　　　elsif ($choice == 2) {$y+=1}
　　　else {$z+=1}
　　} else {
　　　if ($choice == 1) {$x+=-1}
　　　elsif ($choice == 2) {$y+=1}
　　　else {$z+=-1}
　　}
　} else {
　　if ($z == 0) {
　　　if ($choice == 1) {$x+=-1}
　　　　elsif ($choice == 2) {$y+=-1}
　　　　else {$z+=1}
　　　} else {
　　　　if ($choice == 1) {$x+=-1}
　　　　elsif ($choice == 2) {$y+=-1}
　　　　else {$z+=-1}
　　　}
　　}
　}
　return($x,$y,$z);
}