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[ 0139: 積み重ねた半円の面積 ] [ 三方万理先生の出題 ] 図のように 6 個の半円が 3 段に積み重なっています。 この状態で A の面積と B の面積が同じであることを証明してください。
[ 大宙乗児君の回答 ] これはピタゴラスの時代にすでにわかっていたことだと思います。
下の段の半円3個の半径を左から順に r1, r2, r3。
まず r1, r2, r3 の関係ですが、 半径を含んだ比の計算から r2 は r1とr3の相乗平均で表せます。
したがって: 同様に:
r4 = sqrt(r1*r2)
A の部分の半径 (r2) と B の部分の半径が同じことがわかりましたので、 [ 大宙麗亜ちゃんのコメント ]
おにいちゃんが「r2 は r1 と r3 の相乗平均」
下の段の 3 個の半円の中心を貫通する線と 3 個の半円の共通接線の交点を考えます。 相似な直角三角形が 3 個できますから、辺の関係から: a/r1 = (a+r1+r2)/r2 = (a+r1+2*r2+r3)/r3
まず a/r1 = (a+r1+r2)/r2 から:
したがって: (a+r1+r2)/r2 = (a+r1+2*r2+r3)/r3 に a を代入して:
(r1*(r1+r2)/(r2-r1)+r1+r2)/r2) = 式が煩雑ですが最終的に: (r2^2-r1*r3)/(r3*(r1-r2)) = 0 すなわち: r2 = sqrt(r1*r3) が得られます。
r2 は r1 と r3 の 相乗平均 です。 [ 丘品花志先生のコメント ] レイアちゃん、そのとおり。よく乗児君をフォローしてくれました。
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