Math Battle [ 0143: 角度δを求める ]

[ 0143: 角度δを求める ]

[ 西尾三奈さんの出題 ]

図のように一辺が 1 の 4分の 1 円 (quarter circle) と直角三角形 (right rectangle) が底辺を共有しています。 A の面積と B の面積が等しいとき tan(δ) の値を求めてください。

[ 湯会老人の回答 ]

直接 δ を求める前に図のように θ を定義して計算してみましょう。

B の面積 = tan(θ)/2 - θ/(2*π) = (tan(θ)-θ)/(2*π)
A の面積 = (π/2-θ)/(2*π)

A の面積 = B の面積なので
tan(θ) - θ = π/2 - θ

すなわち tan(θ) = π/2

直角三角形の右側の辺が正方形領域から飛び出している部分の長さは
π/2 - 1

tan(δ-π/2) = π/2 - 1 = -(2-π)/2
tan(δ) = -1/tan(δ-π/2) = 2/(2-π)

C) が正解です。

δ = arctan(2/(2-π)) = 約 119.72°

[ 0143: 角度δを求める ]