Math Battle [ 0145: x^3 = 3^x の解は？ ]

[ 0145: x^3 = 3^x の解は？ ]

[ 湯会老人の出題 ]

方程式 x^3 = 3^x の解を求めてください。

(Solve this equation.)

[ 西尾三奈さんの回答 ]

あきらかに (apparently) x=3 が解の一つ (one solution that you can quickly find) ですね。

他の解を求めるため (in order to find the other solution) 両辺の自然対数 (natural log) をとります。

ln(3^x) = ln(x^3)
x*ln(3) = 3*ln(x)
ln(x)/x = ln(3)/3

f(x) = ln(x)/x とします。
x->∞ としたときの f(x)の極限値は 0。
(Converses to 0.)

f(x) を微分 (differentiate) しますと:
f'(x) = (1-ln(x))/x^2

f'(x)=0 になるのは 1-ln(x) = 0 すなわち x=e
ここで e は自然対数の底 (約 2.818) の意味です。
f(x) は x=e まで単調増大し、それを過ぎると単調減少します。

f(e) > f(3) ですから 0 < ln(3)/3 < 1/e
もう一つの解xは 0 < x < e の範囲にあることがわかります。

ln(x)/x = ln(3)/3
(1/x)*ln(x) = (1/3)*ln(3)
(1/x)*ln(1/x) = (1/3)*ln(1/3)
e^ln(1/x)*ln(1/x) = (1/3)*ln(1/3)

ここからランベルト W 関数 (Lambert W function) が出てきます。

結局、
x = -(3/ln(3))*W(-ln(3)/3) ≒ 2.47805268
がもう一つの解です。

k としてグラフに示しました。(k: the other solution)

e が k と 3 の中点になっていれば美しいのですが、そうはなりませんね。
(It turned out that e was not the mid point of k and 3.)

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