[ 星楊令さんの出題 ]

図のように円周上を点 A, B, C が自由に動いているとします。
このとき、sin(α)*sin(β)*sin(θ) の最大値はいくらになりますか？

[ 広世正憲君の回答 ]

α、 β、 θ に関して対称式ですから α = β = θ = 120° あたりかなというのはわかります。 ちゃんと計算してみましょう。

sin(α)*sin(β)*sin(θ)
= sin(α)*sin(β)*sin(360°-α-β)
= -sin(α)*sin(β)*sin(α+β)
= -sin(α)*sin(β)*(sin(α)*cos(β)+cos(α)*sin(β))
= -sin(β)*cos(β)*sin(α)^2 - (1/2)*sin(β)^2*sin(2*α)

αで微分します。

-2*sin(β)*cos(β)*sin(α)*cos(α) - sin(β)^2*cos(2*α)
= -sin(β)*cos(β)*sin(2*α) - sin(β)^2*cos(2*α)
= -sin(β)*(cos(β)*sin(2*α) + sin(β)*cos(2*α))

この値が0のとき、sin(α)*sin(β)*sin(θ) は極値をとります。

sin(β) = 0 では
sin(α)*sin(β)*sin(θ) = 0 ですから:
除外してみます。

cos(β)*sin(2*α) + sin(β)*cos(2*α) = 0
cos(β)*sin(2*α) = -sin(β)*cos(2*α)
すなわち:
tan(2*α) = -tan(β)

αとβは対称ですから、同様な計算をしますと:
tan(2*β) = -tan(α)

したがって: α = β = θ = 120° ベンツ時刻みたい。

( tan(2*120°) = -tan(120°) = sqrt(3) ということ )

sin(α)*sin(β)*sin(θ)
= (sqrt(3)/2)^3 = 3*sqrt(3)/8

間違っていませんか？

[ 湯会老人のコメント ]

正憲君、最終的には間違っていません。 途中でちょこちょこ訂正したみたいですが。 三角関数表現のまま微分したのが良かったと思います。 かりに sin(α) = x とすると cos(α) = ±sqrt(1-x^2) になりますから、 かえって微分がややこしくなります。

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