Math Battle [ 0151: 0045の訂正 ]

[ 0151: 0045の訂正 ]

[ 千手春弥さんの出題 ]

一辺（5 本ある長い辺それぞれ）の長さが 1 の星形の面積を求めてください。

[ 西尾三奈さんの回答 ]

三角形 OBF の面積は星形の面積の 1/10 になります。

ここで、 OB の長さはピタゴラスの定理から:

OB = 1/2 * 1/cos(18°)

BF の長さは星形内部の辺長が黄金比になることを利用して:

BF = 1/(1 + (1 + sqrt(5))/2)
= (3 - sqrt(5))/2

これを使って、 OBF の面積は：
= 1/2 * OB * BF * sin(18°)
= 1/8 * (3 - sqrt(5))*tan(18°)

10 個集めると：
5/4 * (3 - sqrt(5))*tan(18°)
ですね。

ここで湯会老人が計算してくださった tan(18°) の値を使いますと:

星形の面積は: (計算式がちょっと煩雑ですが)

= (5/4)*(3-sqrt(5))*((-1+sqrt(5))/4)/sqrt((5+sqrt(5))/8)
= (5/4)*(3-sqrt(5))*(sqrt(5)-1)/sqrt(2*(5+sqrt(5)))
= 約 0.31027

これでいいでしょうね。

[ 浅見多絵さんのコメント ]

私が間違えました。今度から気をつけます。ペコリ。

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