Math Battle [ 0152: 黄金比を方程式で求める ]

[ 0152: 黄金比を方程式で求める ]

[ 三方万理先生の出題 ]

前回は黄金比 Φ (約 1.618) の近似値を再帰的プログラムで求めてもらいました。今回は方程式に書き直して代数的に値を求めてください。

[ 大宙麗亜ちゃんの回答 ]

連分数の式をよく見ると右辺が自己相似形になっています。
したがって:

Φ = 1 + 1/Φ

これを解きます。
Φ^2 = Φ + 1
Φ^2 - Φ - 1 = 0

Φ = (1 ± sqrt(1 + 4))/2
負の解を捨てて Φ = (1 + sqrt(5))/2 = 約 1.6180

平方根の入れ子のほうも自己相似形になっています。
したがって:

Φ = sqrt(1 + Φ)

これを解きます。
Φ^2 = 1 + Φ
Φ^2 - Φ - 1 = 0

同じ式になりましたので、解は同じく Φ = 約 1.6180

[ 三方万理先生のコメント ]

レイアちゃん、よくできました。自己相似性に気がついたのがポイントです。

[ 浅見多絵さんのコメント ]

レイアちゃん、すごい。小学生でこんなことがわかるとは。脱帽です。

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