[ 星楊令さんの出題 ]

千手さんが出題された「パイの分割問題」では 私はヒモみたいな分け前にしかあずかれませんでしたので (苦笑)、 Math Battle のメンバーが 100 人 になった状態を考えましょう。

ギネスブック認定のジャイアントピザを 100 人で順番に 次の規則で分けることにしましょう。 これは「Pithagorean Pie Puzzle」と呼ばれています。 結果に 2*π に近い値が偶然あらわれるのはご愛嬌。

　■ 1 番目の人はピザの 1 % をとる。
　■ n 番目の人は残ったピザの n % をとる。
　■ 100 番目の人は残ったピザの全部 (= 100 %)。

さて、何番目の人が最も得をするでしょうか？ またその人の取り分は全体のどのくらいでしょうか？

[ 南門疾矢君の回答 ]

前問で乗児君は f(n) が定式化できないと言っていましたが、 そんなことはありません。 ちょっと試してから、規則性を見つけてみましょう。

以上から:

f(n) = (99!/(100-n)!)*(n/100^n)
f(n+1) = (99!/(99-n)!)*((n+1)/100^(n+1))

したがって:

f(n+1)/f(n)
= (100-n)*((n+1)/n)/100

f(n+1) / f(n) の値が 1 以上の範囲では単調増大、 1 未満の範囲では単調減少ですから、

(100-n)*((n+1)/n)/100 = 1 になる n を求めてみますと:

(100-n)*((n+1)/n)/100 = 1
(100-n)*(n+1) = 100*n
100*n + 100 - n^2 - n = 100*n
n^2 + n - 100 = 0

n = (1 ± sqrt(401))/2
負の解を捨てて:
n = 約 10.512
このあたりが境目です。

正憲君、確認のため n = 1〜20 の範囲でグラフを描いてください。

[ 広世正憲 (Masanori) 君のコメント ]

はーい、さっそく描いてみました。

10 番目の人の取り分が約 0.06281565 で最大になります。 楊令さんも安心です。(青線は個々の取り分、 赤線はその時点での残りです)

[ 大宙乗児 (George) 君のコメント ]

n=1〜37 の範囲でそれぞれの人の取り分のグラフを描いてみますと、 18 人目の取り分が約 0.0348886 で最大になることがわかります。

[ 大宙麗亜 (Leia) ちゃんのコメント ]

[ 西尾三奈 (Look westward) さんのコメント ]

[ 0161: 次の記事 ]

[ 0160: 円内の4本の弦 ]

[ 0159: ドーナツの面積 ]

[ 0158: 4次方程式の解 ]

[ 0157: アクセス解析 ]

[ 0156: 半径を求める ]

[ 0155: パイを100人で分ける ]

[ 0154: x^3+y^3+z^3=33 ]

[ 0153: パイを分ける ]

[ 0152: 黄金比を方程式で求める ]

[ 0151: 0045の訂正 ]

[ 0150: ヘロンの公式の証明 ]

[ 0149: Gabriel's Horn ]

[ 0148: sin(α)*sin(β)*sin(θ) ]

[ 0147: 3個の半円と1個の円 ]

[ 0146: i^(i^(i^(i^(i... の値は？ ]

[ 0145: x^3 = 3^x の解は？ ]

[ 0144: x!=x のxは？ ]

[ 0143: 角度δを求める ]

[ 0142: 三角形の面積の最大値 ]

[ 0141: 黄金比の再帰的な求めかた ]

[ 0140: 前の記事 ]