|
[ 0160: 円内の4本の弦 ] [ 千手春弥さんの出題 ] 図に示すように円の中に 4 本の弦 a, b, c, d があり、 これらの間の角度は順にすべて同じ (α) です。
このとき [ 井伊莞爾君の回答 ]
今回から Math Battle に入会させていただきました
井伊莞爾 (いいかんじ) です。 a と d に挟まれて 3 個の三角形が先端を束ねた傘のように並んでいるものとみなします。 これらの根元の辺を考えますと、それぞれ同じ大きさの円周角を持ちますから 辺長も同じ。これを e とします。 3 個の三角形に 余弦定理 を使ってみますと:
① cos(α) = (a^2 + b^2 - e^2)/2*a*b ① と ② から:
b*c*(a^2+b^2-e^2) = a*b*(b^2+c^2-e^2) b=0 を除外しますと: c = a, (b^2 - e^2) / a 同様に ② と ③ から:
c*d*(b^2+c^2-e^2) = b*c*(c^2+d^2-e^2) c=0 を除外しますと: d = b, (c^2 - e^2) / b (a + c) / (b + d) の値を場合別に整理します。
| ||
| c = a | c = (b^2 - e^2) / a | |
| d = b | a+c=2*c, b+d=2*b から c / b |
(a^2+b^2-e^2) / 2*a*b |
| d = (c^2 - e^2) / b | 2*b*c / (b^2+c^2-e^2) | (b/a)*(a^2+b^2-e^2) / (b^2+c^2-e^2) |
おかしいですね。どの場合も (b / c) になりません。 ヘルプをお願いします。
[ 星楊令さんのコメント ]
千手さんはときどき人を惑わす出題をしますから、気をつけてください。 (笑)
図では (a + c) / (b + d) = b / c が成立しているように見えます。
回答を見直してみましょう。
[ 大宙乗児君のコメント ]
e, cos(α) の順に消してゆきましょう。
① は 2*a*b*cos(α) = (a^2 + b^2 - e^2)
② は 2*b*c*cos(α) = (b^2 + c^2 - e^2)
両辺それぞれ引いて:
2*b*(a - c)*cos(α) = (a + c)*(a - c)
a = c, cos(α) = (a + c) / (2*b)
同様に ② と ③ から:
b = d, cos(α) = (b + d) / (2*c)
(a + c) / (b + d) の値を場合別に整理します。