Math Battle [ 0162: 正三角形の中の正三角形 ]

[ 0162: 正三角形の中の正三角形 ]

[ 湯会老人の出題 ]

図のように正三角形の中に正三角形があります。 a - b = sqrt(3) のとき x + y + z の値はいくらになりますか？

[ 水森三奈さんの回答 ]

図のように補助線を引き、大きい正三角形を 3 個の三角形に分割して面積を求めてみます。

右上の三角形: 底辺 a, 高さ y と見なします。
面積 = a*y / 2

左上の三角形: 底辺 a, 高さ z と見なします。
面積 = a*z / 2

下の三角形: 底辺 a, 高さ (x+(sqrt(3)*b/2) と見なします。
面積 = a*(x+(sqrt(3)*b/2) / 2

面積の総和から:
sqrt(3)*a/2 = a/2*(x + (sqrt(3)*b/2)+ y + z)
sqrt(3)*(a - b)/2*a/2 = a/2*(x + y + z)
sqrt(3)*(a - b)/2 = (x + y + z)

a - b = sqrt(3) としますと:
3/2 = x + y + z

すなわち x + y + z = 3/2 = 1.5 が正解です。

[ 湯会老人のコメント ]

はい、正解です。いつもありがとう。

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