[ 西尾三奈さんの出題 ]

図のように背中合わせになった 2 個の平行四辺形 (parallelogram) があります。 長さ x の対応する 2 辺で挟まれた角の大きさは30°です。

このとき cos(PBQ) の値を求めてください。
まず BP = BQ = 10 とします。

[ 広世正憲君の回答 ]

まず PQ の長さを上に平行移動して (x, x, 30°, PQの長さ) で構成される二等辺三角形を考えます。

余弦定理から:
x^2 + x^2 - PQ^2 = 2*x^2*cos(30°)

PQ^2 = 2*x^2 - 2*x^2*cos(30°)
= 2*x^2*(1 - cos(30°))
= (2 - sqrt(3))*x^2

三角形 PBQ に余弦定理を使いますと:

cos(PBQ) = (10^2 + 10^2 - PQ^2)/2*10^2
= (200 - (2 - sqrt(3))*x^2))/200
= 1 - ((2 - sqrt(3))/200)*x^2

x = 0 のとき cos(PBQ) = 1 すなわち PBQ = 0 になります。
（傘を閉じるイメージかな？）

[ 西尾三奈さんのコメント ]

はい、そのとおり。
次に BP = BQ = 10 でなく PQ が折れ曲がり点から a だけ下にある場合は？

[ 広世正憲君の回答 ]

B と PQ の垂直距離は:
cos(15°)*x + a = (PQ/2)/tan(PBQ/2)
tan(PBQ/2) = sqrt((2 - sqrt(3)))*x/(2*(cos(15°)*x + a))

半角の公式から:
cos(15°)
= sqrt((1 + cos(30°))/2)
= sqrt((1 + sqrt(3)/2)/2)

煩雑ですから、以降は概算にします。

tan(PBQ/2) = 0.258819*x/(0.965926*x + a)

cos(PBQ)
= (1-(0.258819*x/(0.965926*x + a))^2)/
　(1+(0.258819*x/(0.965926*x + a))^2) -- ①

① で a = x のときは PBQ をはさむ三角形が二等辺三角形:
PBQ = 15° すなわち cos(PBQ) = 約0.965926

上記の煩雑な式での計算値と一致します。

[ 西尾三奈さんのコメント ]

はい、よくできました。
「そうそう ばんばん」 でお蕎麦をおごってあげます。

[ 大宙乗児君のコメント ]

正憲君の式を見ますと、次のようになりますね。

0.258819
= sqrt(2 - 2*cos(30°))/2
= sqrt(2 - 2*(2*cos(15°)^2 - 1))/2
= sqrt(4 - 4*cos(15°)^2)/2
= sqrt(1 - cos(15°)^2)

(1-(0.258819/(0.965926 + 1))^2)
= 1 - (1 - cos(15°)^2)/(cos(15°) + 1)^2
= (2*cos(15°)^2 + 2*cos(15°))/(cos(15°) + 1)^2

(1+(0.258819/(0.965926 + 1))^2)
= 1 + (1 - cos(15°)^2)/(cos(15°) + 1)^2
= (2*cos(15°)^2 + 2)/(cos(15°) + 1)^2
= 2/(cos(15°) + 1)

cos(15°)をaとおいて ①に代入してみますと。

a = ((2*a^2 + 2*a)/(a + 1)^2)/(2/(a + 1))
= 2*a*(a + 1)/(a + 1)^2) * (a + 1)/2
= a

計算は合ってます !!!

[ 西尾三奈さんのコメント ]

よくもこんな計算をやったわね。ご苦労さま。
乗児君にもお蕎麦をおごってあげます。

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