Math Battle [ 0165: x^3-y^3=65 の整数解 ]

[ 0165: x^3-y^3=65 の整数解 ]

[ 浅見多絵さんの出題 ]

x^3 - y^3 = 65 の整数解を全部求めてください。

[ 大宙麗亜ちゃんの回答 ]

まず両辺を因数分解 (素因数分解) します。

(x - y)*(x^2 + x*y + y^2) = 1*5*13

x^2 + x*y + y^2 = (x + y/2)^2 + (3/4)*y^2
ですから、負にはなりません。

したがって (x - y) > 0
(x - y) は 1,5,13,65 のいずれかです。

場合分けします。

x-y = 1 x-y = 5 x-y = 13 x-y = 65

(x^2+x*y+y^2)=1 実数解なし

(x^2+x*y+y^2)=5 実数解なし

(x^2+x*y+y^2)=13 (x=1,y=-4),
(x=4,y=-1)

(x^2+x*y+y^2)=65 実数解なし

以上から： (x=1, y= -4) と (x=4, y= -1) が解です。

[ 浅見多絵さんのコメント ]

レイアちゃん、正解です。これは京都大学の入試問題ですよ。
驚いたなあ。

[ 大宙麗亜ちゃんのコメント ]

へへへ。検算用に狼羊さんの助けを借りました。
(x-y) = 5, (x^2+x*y+y^2) = 13 のとき。

[ 大宙乗児君のコメント ]

レイア、次のようにやってごらん。一発で答が出るから。

[ 0165: x^3-y^3=65 の整数解 ]