Math Battle [ 0166: 正方形周上の4個の角度 ]

[ 0166: 正方形周上の4個の角度 ]

[ 千手春弥さんの出題 ]

図のように正方形に内接する四角形があり対応する辺の間の角度は順に θ, 2θ, 3θ, 4θ になっていると考えます。

こういう場合はありうるのでしょうか？
ありうるとすれば θ がある範囲で成り立つのでしょうか？
それとも特定の θ でだけ成り立つのでしょうか？

[ 浅見多絵さんの回答 ]

計算を簡単にするために正方形の左下隅を座標原点 (0, 0) とし、正方形の辺の長さを 1 とします。こうしても一般性は失われません。

正方形周上の 4 点を A, B, C, D とよぶことにします。

Dの座標を (0, a) として順に計算します。

A の座標: (a*tan(4*θ), 0)
B の座標: (1, (1-a*tan(4*θ))*tan(θ))
C の座標: (1-(1-(1-a*tan(4*θ))*tan(θ))*tan(2*θ), 1)
D の座標: (0, 1-(1-(1-(1-a*tan(4*θ))*tan(θ))*tan(2*θ))*tan(3*θ))

一巡して:

a = 1-(1-(1-(1-a*tan(4*θ))*tan(θ))*tan(2*θ))*tan(3*θ)

うわー、煩雑。 a を θ から求める式に書き換えますと：

a = (tan(θ)*tan(2*θ)*tan(3*θ)
　-tan(2*θ)*tan(3*θ)+tan(3*θ)-1) /
　(tan(θ)*tan(2*θ)*tan(3*θ)*tan(4*θ)-1)

tan(θ) を x と置いて、tan(2*θ), tan(3*θ), tan(4*θ) を求めてみます。

tan(2*θ) = 2*x/(1-x^2)
tan(3*θ) = (3*x-x^3)/(1-3*x^2)
tan(4*θ) = 2*(2*x/(1-x^2))/(1-(2*x/(1-x^2))^2)

a = 1-(1-(1-(1-a*(2*(2*x/(1-x^2))/(1-(2*x/(1-x^2))^2)))
*(x))*(2*x/(1-x^2)))*((3*x-x^3)/(1-3*x^2))
--- ①

狼羊さんがギブアップしましたので、まず θ = 15° を試してみます。

tan(θ) = 0.267949
tan(2*θ) = 0.577350
tan(3*θ) = 1.000000
tan(4*θ) = 1.732051

a = 1-(1-(1-(1-a*1.732051)*0.267949)*0.577350)*1.000000
を解きますと a = 約 0.57735

次に θ = 12.5° を試してみます。

tan(θ) = 0.221695
tan(2*θ) = 0.466308
tan(3*θ) = 0.767327
tan(4*θ) = 1.19175

a = 1-(1-(1-(1-a*1.19175)*0.221695)*0.466308)*0.767327
を解きますと a = 約 0.563427

ついでに θ = 10° としてみます。

tan(θ) = 0.176327
tan(2*θ) = 0.363970
tan(3*θ) = 0.577350
tan(4*θ) = 0.839100

a = 1-(1-(1-(1-a*0.839100)*0.176327)*0.363970)*0.577350
を解きますと a = 約 0.6142852

なお ① で a = 0 としますと x = sqrt(2)-1 ⇒ θ = 22.5°
4*θ = 90° になりますから内接四角形は A = Bで AB = AC である二等辺三角形に収縮します。
四角形を保ちつつ ① が成り立つのは 0 <= θ < 22.5° のときです。

[ 広世正憲君のコメント ]

多絵さんの ① の式はあくまでも最後の帳尻合わせです。 A, B, C, D が正方形の周上からはみ出さないことを保証するものではありません。

θ = 15° では:
A の座標:
　(a*tan(4*θ), 0)
　(0.57735*tan(60°), 0)
　(1, 0)
B の座標:
　(1, (1-0.57735*tan(60°))*tan(15°))
　(1, 0)
C の座標:
　(1-tan(30°), 1)
　(0.4226, 1)
D の座標:
　(0, 1-0.4226*tan(45°))
　(0, 約 0.5774) ⬅ 一巡して a の値とほぼ一致。

このとき A と B は重なり、内接四角形は (30°,75°,75°) の二等辺三角形に収縮します。

θ = 20° では:
tan(θ) = 0.363970
tan(2*θ) = 0.839100
tan(3*θ) = 1.732051
tan(4*θ) = 5.671282

このとき a = -0.096166 !!! はみ出しました。

頂点が正方形周上にあって四角形を保つ解は
0 <= θ < 15° の範囲ではないかと思います。

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