Math Battle [ 0168: 0166の補足 ]

[ 0168: 0166の補足 ]

[ 星楊令さんの回答 ]

0166 の補足です。
面白そうなので、多絵さんの立てた式をもとに考えてみました。

まず D の座標を (0, a) とします。

Ax = a*tan(4*θ)
By = (1-Ax)*tan(θ)
Cx = 1-(1-By)*tan(2*θ)
Dy = 1-Cx*tan(3*θ)

一巡して Dy = a (になるはず)
計算順序の便宜でもわかりやすさの点でも良いと思います。

グラフは θ = 0°〜30° の範囲で θ を X 軸にとり
a, Ax, By, Cx, Dy (= a) を Y 軸にとりました。

これを見ますと：

θ = 0 では Ax = By = 0, Cx = Dy (= a) = 1 となります。
これは四角形 ABCD が外側の正方形と完全に重なることを意味しています。
θ = 15° では正憲君が計算したとおり
A と B が重なり、内接四角形は (30°, 75°, 75°) の二等辺三角形に収縮します。
15° < θ < 22.5° の範囲では正方形領域からのはみ出しが生じます。
θ = 22.5° のときは特別で、 A と D が重なり、内接四角形は
(45°, 67.5°, 67.5°) の二等辺三角形に収縮します。
θ > 22.5° では再び Dy (= a) のはみ出しが生じます。
θ = 30° では計算上四角形が閉じなくなります。