|
[ 0169: 陰陽の重心 ]
[ 星楊令さんの出題 ]
下の図のように単位円を陰陽 (Yin Yang) に塗り分けました。
黒い部分が陰 (Yin) で、白い部分が陽 (Yang) です。
2つの白黒の目玉のようなものは無視してください。
材質や厚さを一定として
陰陽それぞれの部分の重心 (centroid) の座標を求めてください。
なお、下のような半円の重心は
(0, 4r/(3π)) にあることをヒントにしてください。
これは高校で三方万理先生が置換積分のところで教えてくださるでしょうが、
気が早いので今年習うかもしれませんね。
[ 大宙乗児君の回答 ]
半円 3 個に分けて、重み計算から重心の座標を求めてみましょう。
重みの根拠は面積比です。
図形が図形を切り取っているとみなして計算したほうが好都合な場合は、
切り取っている側の重みを負の値にします。
| 半円 A |
第 1 + 第 4 象限：
黒 |
重心
(4/(3π), 0) |
簡易化した重み:
4 |
| 半円 B |
第 4 象限食い込み:
白 |
重心
(2/(3π), -0.5) |
簡易化した重み:
-1 |
| 半円 C |
第 2 象限食い足し:
黒 |
重心
(-2/(3π), 0.5) |
簡易化した重み:
1 |
まず陰 (Yin) の部分の座標 (x1, y1) から計算します。
重みはその部分の面積と「含めるか含めないか」を総合した簡単な比です。
x1
= ((4/3π)*4 + 2/(3π)*(-1) + (-2/(3π)*1)) /
(4-1+1)
= ((16-2-2)/(4*pi)) / 4
= 1 / pi
y1
= (0*4 + (-0.5)*(-1) + 0.5*1)/(4-1+1)
= 1 / 4
陰陽 (Yin Yang) の図形は円の中心に対して （色は別として）
点対称ですので、陽 (Yang) の部分の重心 (x2, y2 )はいうまでもなく
(-1/pi, -1/4) です。
[ 大宙麗亜ちゃんのコメント ]
重心は目玉の近くかと思ったら、そうではないんですね。
今度はオタマジャクシの重心を計算してください。
|