[ 0171: 円弧の 3 分割 ]


[ 湯会老人の出題 ]

このところずっと 過去問で解けなかったものや
出題の間違いに見えたものの見直しをしていまして、
新しい出題をする余裕がありませんでしたが、そろそろ再開します。
皆さんも暇を持て余していたでしょうし。(そうかな?)

上の図に示すように、円弧 (半円ではありません) を二等辺直角三角形が
3 等分しています。
こういう状態になるときの角度 θ を求めてください。
いちおう難問の部類にはいるかな?

計算が簡単になるように円の半径は 1 にしてかまいません。
座標原点は好きなところに置いてください。


[ 西尾三奈さんの回答 ]

待ってましたー。こんな問題は面白いですね。
とりあえず図解してみました。
GNUPLOT を使うとなると座標計算が必要なため、
ちょっと不正確ですが Libre Office Impress で描きました。

円周角が θ ですから、分割後それぞれの円弧の中心角は 2*θ です。
BC の Y 座標が 0、左右の中心の X 座標が 0 になるように原点をとりますと、
円の中心の座標は (0, -cos(3*θ)) になります。

C の座標は: (sin(3*θ), 0)
D の座標は: (sin(θ), cos(θ)-cos(3*θ))

∠ACB が 45° になるためには: Cx-Dx = Dy-Cy
すなわち:
sin(3*θ) - sin(θ) = cos(θ) - cos(3*θ)

3 倍角が出てきてしまいました。
強引に sin(θ) なり cos(θ) を求めてから θ を求めてもいいですが、
sin(3*θ) = cos(θ) かつ sin(θ) = cos(3*θ) になる θ は存在します。
すなわち、単純に考えて 3*θ + θ = 4*θ = 90° のとき。

θ = 22.5° が正解です。

下のグラフは sin(3*θ)-sin(θ) と cos(θ)-cos(3*θ) の交点を示したものです。
狼羊さん(Wolfram|Alpha) に sin(3*θ)-sin(θ)=cos(θ)-cos(3*θ) と入力すれば
「それらしい」解として θ = π/8 (ラジアン) が得られます。

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