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[ 0172: 半円の弦の 4 分割 ]
[ 千手春弥さんの出題 ]
湯会老人が円弧の 3 分割の問題を出題されましたので、
私は半円の弦の 4 分割の問題を出題します。
上の図に示すように、弦 AB が (C, D, E で) 4 等分されています。
x + y = z が成立するときの角度
β を求めてください。
計算が簡単になるように円の中心を座標原点 (0, 0) とし半径を 1 にしてください。
(unit semicircle)
[ 井伊莞爾君の回答 ]
大学入試にそなえて力試しにやってみます。
B の座標は: (cos(β), sin(β))
A の座標は: (-1, 0)
D の座標は: ((cos(β)-1)/2, sin(β)/2)
z = OD = sqrt(((cos(β)-1)/2)^2 + (sin(β)/2)^2)
= sqrt(2-2*cos(β))/2
C の座標は: ((cos(β)-3)/4, sin(β)/4)
中心角 (β) と円周角の関係から ∠OABは β/2。
したがって線分 ｘ の傾き (角度) は β/2+90° になります。
線分 ｘ の方程式は:
tan(β/2+90°)*(x-(cos(β)-3)/4) = y-sin(β)/4
なお tan(β/2+90°) = -cot(β/2)
円 x^2 + y^2 = 1 との交点 (x1, y1) を求めます。
y = -cot(β/2)*x + cot(β/2)*(cos(β)-3)/4 + sin(β)/4
= -cot(β/2)*x - cot(β/2)/2
円の式に代入して:
x^2 + (cot(β/2)*x + cot(β/2)/2)^2 = 1
便宜的に cot(β/2) = a と表しますと、
x1 = (-sqrt(3*a^2+4)-a^2)/(2*(a^2+1))
y1 = -a*x1 - a
= a*(sqrt(3*a^2+4)-a^2-2)/(2*(a^2+1))
x の長さ
= sqrt((x1-(cos(β)-3)/4)^2 + (y1-sin(β)/4)^2)
対称性から x の長さと y の長さは同じになりますので
yの長さを計算する必要はありません。
計算が煩雑すぎて、このへんでいったん休憩します。
zzz... (gave up)
[ 湯会老人のコメント ]
莞爾君はまだ「力づく (brute force)」主義ですね。 Forger it.
cot(β/2)*(cos(β)-3)/4 + sin(β)/4 =- cot(β/2)/2
がわかったのは偉いですが。
計算が煩雑で行き詰まったときは「発想」を変えましょう。
全体を角度 β/2 だけ時計まわり
回転 (rotate) した状態をイメージしてください。
弦 AB は水平になり、長さや距離計算は全部水平垂直
(everything horizontal and vertical) の世界になります。
A の座標: (-cos(β/2),sin(β/2))
B の座標: ( cos(β/2),sin(β/2))
D の座標: (0, sin(β/2))
z の長さ = sin(β/2)
C の座標: (-cos(β/2)/2, sin(β/2))
x1 = -cos(β/2)/2
これを円の方程式 x^2 + y^2 = 1 に代入して:
y1 = sqrt(1 - (cos(β/2)/2)^2)
= sqrt(4-cos(β/2)^2)/2
x の長さ = sqrt(4-cos(β/2)^2)/2 - sin(β/2)
(xの長さ) + (yの長さ) = (x の長さ)*2
= sqrt(4-cos(β/2)^2) - 2*sin(β/2)
これが z の長さ (sin(β/2)) と等しくなるということは:
sqrt(4-cos(β/2)^2) - 2*sin(β/2) = sin(β/2)
sqrt(4-cos(β/2)^2) = 3*sin(β/2)
ここまでくれば、もう怖くない。
cos(β/2) を a とあらわし、上式の両辺を 2 乗しますと:
4 - a^2 = 9*(1 - a^2)
a = sqrt(5/8)
cos の半角の公式から:
cos (β/2)^2 = 5/8 = (1 + cos(β))/2
あとは簡単。
cos(β) = 1/4, β = arccos(1/4)
わかりましたね。
[ 井伊莞爾君のコメント ]
わかりました !!! 超納得。 (Bingo)
Math Battle の世界は高校の授業よりもずっとずっと頭の訓練になりますね。
感謝感激。
[ 西尾三奈さんのコメント ]
莞爾君、良かったわね (congrats)。
数学の勉強でわからないことがあったら
遠慮なく smoothoperator.math.1984@gmail.com にメールしなさい。
だれかが答えるから。
(Sade の歌が聴こえたら湯会老人 (obiwan3) かも。 笑)
[ Smooth Operator ]
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