[ 0173: 放物線滑走路からの落下 ]


[ 三方万理先生の出題 ]

純粋な幾何学計算 (geometric computation) だけだと飽きますので、 このへんで物理学を加味した出題をします。

上の図のように y = a*x^2 + b*x + c という式の放物線滑走路があります。

Y 軸との交点 A (0, c) から滑走路にそった「助走」を始め、
放物線上の点 B で滑走路から離れて自由落下するものとします。
滑走路から離れる点 B がどこにあるかで地上に到達したさいの距離が変わってきます。

この距離の最大値 (Xmax) を a, b, c の関数で表してください。


[ 大宙乗児君の回答 ]

点 B の座標を (p, q) とします。
q = a*p^2 + b*p + c はあとで使います。

この点での放物線滑走路の傾きは微分してわかるとおり、(2*a*p + b)
とりあえず、この角度を θ と呼ぶことにします。
(tan(θ) = (2*a*p + b) ということ)

点 A と点 B の位置エネルギー (potential energy) の差が
点 B での運動エネルギーに変わるものと考えます。

これは: m*g*(c-q)
点 B での速度を v としますと、運動エネルギーは 1/2*m*v^2
m*g*(c-q) = 1/2*m*v^2 から:
v = sqrt(2*g*(c-q))

X 方向の速度は sqrt(2*g*(c-q))*cos(θ) で等速。

Y 方向の初速は sqrt(2*g*(c-q))*sin(θ)
時間 t 後の Y 座標は:
q + sqrt(2*g*(c-q))*sin(θ)*t - (1/2)*g*t^2
これが 0 になる (すなわち地上に落ちる) t は
t = (-sqrt(2*g*(c-q))*sin(θ) +
 sqrt(2*g*(c-q)*sin(θ)^2+2*g*q))/g

このときの X 座標は:
(X 方向の等速度 * t) + p
= (sqrt(2*g*(c-q))*cos(θ))*
 (-sqrt(2*g*(c-q))*sin(θ)+
  sqrt(2*g*(c-q)*sin(θ)^2+2*g*q))/g + p
= .....

p に関する 2 次方程式にでもなれば Xmax が求められますが、
式が煩雑すぎますね。どこで計算を間違ったのでしょう?

しばらく保留とさせてください。


[ 浅見多絵さんのコメント ]

乗児君、高校の物理なんかまだやらなくていいから、
それより「乗児くん物語: 中学 2 年生編」はどうなっているの?
みんな楽しみにしているのに。

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