[ 星楊令さんの出題 ]

今度は中華料理のフルコースができても計算が終わらない程度の問題を出しましょうね。
煩雑すぎて胃がもたれるかな？

図のように y = -x^2 + 2*x という式であらわされる放物線 (2次曲線) があります。

X 切片、すなわち X 軸と交わる点を O (0, 0) と A (2, 0) とし、
B と C は放物線上の点で第 1 象限にあるものとします。

このとき、四角形 OACB の面積の最大値を求めてください。

[ 西尾三奈さんの回答 ]

はーい。

下の図のように B の X 座標を x と呼び、C の X 座標を (x + w) と呼ぶことにします。
中央の四角形 (台形を横に倒したもの) の幅が w ということですね。

四角形 OACB を 3 分割してそれぞれ面積を求めてみましょう。

これら 3 つを全部合計したものが四角形 OACB の面積です。
煩雑ですねー。ボーッと生きてると料理が煮立ってしまいますね。

いっけん 3 次方程式に見えますが、x^3 の項が消えて 2 次方程式になります。

最終的に得られた式を a*x^2 + b*x + c とあらわした場合 a, b, c は：

a	w/2 - 1
b	w^2/2 - 2*w + 2
c	-w^2 + 2*w

この式の値は x = w = 2 / 3 のとき 最大(32 / 27)になります。

面積は:

= (-2/3)*x^2 + (2/9 - 4/3 + 2)*x + (-4/9 + 4/3)
= (-2/3)*x^2 + (8/9)*x + (8/9)
= (-2/3)*(x-2/3)^2 + 32 / 27

グラフは以下のとおりです。

[ 広世正憲君のコメント ]

僕はもっと簡単に考えてみました。

放物線の軸に非対称の場合の正解がないと仮定し、対称の場合を考えます。

B の X 座標を x とします。変数はこれだけです。

　▪ O: (0, 0)
　▪ A: (2, 0)
　▪ C: (2-x, h)
　▪ B: (x, h)

左の直角三角形と右の直角三角形は合同ですから、
左の三角形をひっくり返して右の三角形にのせますと:

幅が (2-x), 高さが h = 2*x - x^2 の長方形ができます。

合計面積 = (2-x)*(2*x-x^2) = x^3 - 4*x^2 + 4*x

導関数 (x で微分したもの）: 3*x^2 - 8*x + 4

導関数を 0 にする x = 2 / 3 (0 < x < 2) で合計面積は極大。

極大値は:

= (2-2/3)*(2*2/3 - 4/9)
= 32 / 27 = 約 1.185

できました。 (GNUPLOT でもっと正確に描いてもいいんですけどね。)

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[ 0173: 放物線滑走路からの落下 ]

[ 0172: 半円の弦の4分割 ]

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[ 0170: Perlの順列機能 ]

[ 0169: 陰陽の重心 ]

[ 0168: 0166の補足 ]

[ 0167: GNUPLOT:ドラゴン曲線描画 ]

[ 0166: 正方形周上の4個の角度 ]

[ 0165: x^3-y^3=65 の整数解 ]

[ 0164: cos(PBQ)の値 ]

[ 0163: 3点を中心にした3個の円 ]

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