[ 広世正憲君の質問 ]

僕たちが認識できる世界の次元は: 点が 0 次元、線が 1 次元、平面が 2 次元、空間が 3 次元というふうに習っています。

ところが 2 次元平面 (あるいはそうみなしていい範囲) に描いたフラクタル曲線にも次元という概念が導入されているようで、 次元の値は 1 を超え 2 未満になっています。

これはどうやって計算しているのでしょうか？

[ 湯会老人の回答 ]

正憲君、とりあえず Wikipedia 日本語版にある 解説 を読んでください。

動画 (英語音声) だと YouTube があります。数学的に描けるフラクタル曲線だけでなく、 イギリス本土の海岸線をクローズアップしてゆく説明も含まれています。 画質は良くありませんが何となくイメージをつかんでください。

[ 西尾三奈さんのコメント ]

ドラゴン曲線を例にあげましょう。 ドラゴン曲線は全体として「自分自身とは交わらない自己充填線」ですから、 その意味ではフラクタル次元は 2 になります。 1 レベル深くなるごとに線長が sqrt(2) 倍になるからです。

ただし境界部だけを見ますと、フラクタル次元は:
約 1.5236 というそれらしい値になります。 これは 4^x*(2^x-1) = 4*(2^x+1) の解です。 もし興味があれば Chang と Zhang の論文を紹介しますよ。

それより、早く境界部の描画をやってください。

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