Math Battle [ 0226: 半円の接線の長さ ]

[ 0226: 半円の接線の長さ ]

[ 湯会老人の出題 ]

久しぶりに幾何学の出題をします。
上の図に示す接線 (正方形内で) の長さを求めてください。計算の便宜上、座標原点はどこにおいてもかまいません。

[ 広世正憲君の回答 ]

ドラゴン曲線の境界部描画の試行錯誤が続いていましたが、久しぶりに回答いたします。

図のように補助線を引いて考えました。

まず三角形 ABO と三角形 AEO は 2 辺が同じ直角三角形で (裏返し) 合同です。したがって AE = AB = 1

∠AOB = ∠AOE = arctan(2)

したがって
∠COF = (π-2*arctan(2))/2
= π/2 - arctan(2)

EF = CF = (1/2)*tan(π/2 - arctan(2)) = 1/4

x = AE + EF = 1 + 1/4 = 5/4

でした。間違ってませんね。

[ 湯会老人のコメント ]

正憲君、健在ですね。 arctan を使わない解きかたはないですか？

[ 井伊莞爾君のコメント ]

僕は直感的に解きました。

DF = 3/4 と仮定しますと、CF = 1/4
ピタゴラスの定理から x = AF = 5/4
x = AE + EF
= AB(=1) + CF(1/4) = 5/4

ピッタリ符合します。

[ 西尾三奈さんのコメント ]

莞爾君、答は合ってます。

でもいきなり「発見的」に解くのはまずいわね。
DF = a としましょう。
x = sqrt(1 + a^2) = 1 + (1 - a) = 2 - a

sqrt(1 + a^2) = 2 - a
1 + a^2 = 4 - 4*a + a^2
4*a = 3
a = 3/4

したがって x = 2 - 3/4 = 5/4

ぐらいの計算は義理でもやらなくっちゃ。

[ 湯会老人のコメント ]

三人の個性があらわれていますね。

正憲くんは中学校では習っていない手を使おうとします。莞爾君は「発想を変えなさい」と言って以来、シンプルにこだわっています。三奈さんは安定してますね。ときどきお蕎麦屋さんの横書きのメニューを縦に読んだり、花の名前を間違えたりして笑いをプロデュースしてくれますが。楽しいですね。

[ 浅見多絵さんのコメント ]

なるほど。数学の問題の問題の解きかたで性格がわかるわけですね。私の性格はなんでしょう？

[ 湯会老人のコメント ]

「君の名は？」
「はーい、栗女です」

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