Math Battle [ 0241: 円周上の 2 点間の平均距離 ]

[ 0241: 円周上の 2 点間の平均距離 ]

[ 星楊令さんの出題 ]

半径 1 の円周上を A と B の2点が自由に動いています。 A と B の距離の平均はいくらになりますか？

[ 井伊莞爾君の回答 ]

円の中心を O とし、∠AOC を θ とします。
AB = 2*sin(θ/2)

対称性から:
B を固定し 0 <= θ <= π の範囲で A を動かせば充分です。

2*sin(θ/2) を θ が 0 から π までの範囲で積分しますと:
-4*cos(π/2) - (-4*cos(0/0)
= 0 - (-4)
= 4

これを θ の区間 (= π) で割ったものが A と B の距離の平均ですから
答は 4/π (約 1.2732)

[ 星楊令さんのコメント ]

正解です。目視での感じと一致していますね。

[ 浅見多絵さんのコメント ]

乱数を使った簡単なプログラムを書いてみました。

#!/usr/local/bin/perl

use Math::Trig; # 三角関数を使う。

$N = 100000;
$sum = 0;

for ($i=0; $i<=$N; $i++) {
　$a = rand()*2*pi;
　$x1 = cos($a);
　$y1 = sin($a);
　$a = rand()*2*pi;
　$x2 = cos($a);
　$y2 = sin($a);
　$sum += sqrt(($x1-$x2)**2 + ($y1-$y2)**2);
}
printf("Average: %.4f\n", $sum/$N);

Average: 1.2734

近い値が出ましたね。

[ 0261: 次の記事 ]

[ 0260: アクセス数の増大 ]

[ 0259: 正方形を直線で2分割すると ]

[ 0258: メンバーリスト改訂 ]

[ 0257: IMO問題解の簡単な検証 ]

[ 0256: 水平線上の放物線の面積和 ]

[ 0255: 雪印プログラム ]

[ 0254: 国際数学オリンピック過去問:1 ]

[ 0253: (xの2次関数)^(xの2次関数)=1 ]

[ 0252: 力学的つりあい ]