Math Battle [ 0247: πが出てくる長方形の縦横増殖 ]

[ 0247: πが出てくる長方形の縦横増殖 ]

[ 三方万理先生 (algorithm teacher) の出題 ]

変な出題のタイトルですが、頭の体操 (brain exercise) です。

上図のように長方形が縦横ともに成長 (grow) してゆくものとします。

まず最初に種になる単位正方形 (initial square) からスタートし、
これと面積が全く同じ正方形あるいは長方形 (rectangle) を上 (top)、
右横 (right side) という具合に交互に合体 (add) させてゆく遊びです。

これを無限に繰り返したときに (after inifinite loop) できる長方形の
縦横比 (H/W) はどういう値に収束 (converge) するでしょうか？

興味あるかたは Wallis product を勉強してください。
イギリスの婦人服製品 (product) ではなく、
数学上たいへん興味ある「積」 (product) のほうです。

[ 浅見多絵さんのコメント ]

私は代数的に解けませんから簡単なプログラムを作って
100 セット (最初は単位正方形、それ以降はそれぞれの合体後)
の H/W を計算しプロットしてみました。
π / 2 (約 1.57) に収束するみたいですね。

[ 千手春弥さんのコメント ]

これは Wallis Product Formula (John Wallis 1655) というもので
π/2 を規則性のある分数の無限の積 (product) としてあらわした式です。

(2/1)*(2/3)*(4/3)*(4/5)*(6/5)*(6/7)*(8/7)*(8/9)*..
という具合に分けて計算すると振動しますが、
そのうち π/2 (約1.57) に収束してゆきます。

[ 湯会老人 (obiwan3) のコメント ]

この Wallis Product Formula と
三方万理先生が考案してくださった「長方形の合体遊びによる縦横比変化」が
どう関係するかがわかったかたは別記事を立てて解説してください。

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