Math Battle [ 0268: IMO 過去問: 4 ]

[ 0268: IMO 過去問: 4 ]

[ 丘品花志先生の出題 ]

千手春弥さんさんが IMO (International Mathematical Olympiad: 国際数学オリンピック)
の過去問をいろいろ出題されていますので、私もそれに続きます。

任意の三角形 ABC の内接円 (incircle) と辺 BC の接点を D とし、
D から辺 BC と垂直にひいた直線と内接円の交点を E とします。
さらに AE と BC の交点を F とするとき
BD = CF が成立することを証明してください。

[ 大宙乗児君の回答 ]

辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c とします。

b = c のときは二等辺三角形となり左右対称ですから BD = CF は自明。
対称性より c < b の場合だけを証明すれば OK です。

頂点 A から辺 BC に立てた垂線の足を G とします。

まず内接円の性質から:
BD = a - CD
(b - CD) + BD = c

両辺をそれぞれ足して
2*BD + b - CD = a -CD + c

すなわち BD = (a − b + c) / 2 -- ①

三角形 FED と三角形 FAG は相似ですから:
FD * AG = ED * FG

これに (S を三角形 ABC の面積として)

ED = 2*r = 4*S/(a+b+c) = 2*a*c*sin(∠B)/(a+b+c)
AG = c*sin(∠B)
FG = FB − BG = DF + (a−b+c)/2 −c*cos(∠B)

を代入することにより:

DF*(a+b+c)
= 2*a*DF + a*(a−b+c) − 2*a*c*cos(∠B)

余弦定理を用いて cos(∠B) を消去します。

DF*(−a+b+c) = −a*(b−c) + (b+c)*(b−c)
DF = (b-c)*(-a+b+c) / (−a+b+c)
= b - c

したがって
CF = a − BD − (a−b+c) / 2
= (a−b+c) / 2 -- ②

これで CF は最初に求めた BD と同じことが証明されました。

[ 丘品花志先生のコメント ]

乗児君、よくできました。正解です。
内接円の性質、正弦定理、余弦定理をうまく使いましたね。

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